Mathématiques

Graphe de fonction cubique (y = ax³ + bx² + cx + d)

Entrez les coefficients a–d pour tracer la fonction cubique y = ax³ + bx² + cx + d. Calcule automatiquement le point d'inflexion et les extrema locaux.

Conseils

  • Le coefficient cubique a détermine la direction générale du graphe. Si a > 0, la courbe monte de bas-gauche à haut-droite ; si a < 0, elle descend de haut-gauche à bas-droite.
  • Le point d'inflexion est l'endroit où la concavité change. Son abscisse est x = −b ÷ (3a) et il est affiché comme un losange orange sur le graphe.
  • Les extrema locaux sont trouvés en résolvant dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0. Les maxima locaux apparaissent en vert, les minima en violet. Si le discriminant de cette équation est ≤ 0, il n'y a pas d'extremum et la fonction est monotone.
  • Par défaut : y = x³ − 3x (a=1, b=0, c=-3, d=0), un exemple classique avec maximum local en (−1, 2) et minimum local en (1, −2).

Questions fréquentes

Un point d'inflexion est l'endroit où la concavité (direction de courbure) du graphe change. Pour y = ax³ + bx² + cx + d, on pose la dérivée seconde d²y/dx² = 6ax + 2b = 0 pour obtenir x = −b ÷ (3a). En ce point, la courbe passe de concave vers le bas à concave vers le haut (ou vice versa).

Un maximum local est un point où y est plus grand que dans les points voisins (un sommet local) ; un minimum local est un point où y est plus petit (un creux local). On les trouve en résolvant dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0 et en vérifiant le signe de la dérivée seconde (négatif → maximum, positif → minimum). Si le discriminant est ≤ 0, il n'y a pas d'extremum.

Oui. L'équation ax³ + bx² + cx + d = 0 (à coefficients réels) a toujours au moins une racine réelle. Par le théorème des valeurs intermédiaires, pour a > 0 : y → +∞ quand x → +∞ et y → −∞ quand x → −∞, donc le graphe doit croiser l'axe x au moins une fois.

La direction du graphe est inversée : au lieu de monter de bas-gauche à haut-droite, il descend de haut-gauche à bas-droite. Les extrema locaux se produisent aux mêmes abscisses, mais les valeurs y sont de signe opposé par rapport au cas a > 0.

Anecdote — La rivalité autour de la formule cubique

La solution générale des équations cubiques (formule de Cardan) a provoqué une âpre querelle entre mathématiciens italiens du XVIe siècle. Niccolò Tartaglia avait découvert une méthode de résolution et l'avait confiée à Gerolamo Cardan sous serment de secret. En 1545, Cardan la publia pourtant dans son Ars Magna, déclenchant la fureur de Tartaglia, qui l'accusa de plagiat.

Il est remarquable que la résolution d'équations cubiques ait contribué à l'invention des nombres complexes. Même lorsque l'équation n'a que des racines réelles, la formule de Cardan peut nécessiter des racines carrées de nombres négatifs lors des étapes intermédiaires. Rafael Bombelli montra qu'en traitant formellement ces « nombres imaginaires », on obtenait les solutions réelles correctes, posant ainsi les bases de la théorie des nombres complexes.

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