Matemáticas

Gráfica de función cúbica (y = ax³ + bx² + cx + d)

Ingresa los coeficientes a–d para trazar la función cúbica y = ax³ + bx² + cx + d. Calcula automáticamente el punto de inflexión y los extremos locales.

Consejos

  • El coeficiente cúbico a determina la dirección general de la gráfica. Si a > 0, la curva sube de izquierda-abajo a derecha-arriba; si a < 0, baja de izquierda-arriba a derecha-abajo.
  • El punto de inflexión es donde cambia la concavidad. Su coordenada x es x = −b ÷ (3a) y se muestra como un diamante naranja en la gráfica.
  • Los extremos locales se obtienen resolviendo dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0. Los máximos se muestran en verde y los mínimos en morado. Si el discriminante de esa ecuación es ≤ 0, no hay extremos locales y la función es monótona.
  • Por defecto se muestra y = x³ − 3x (a=1, b=0, c=-3, d=0), un ejemplo clásico con máximo local en (−1, 2) y mínimo local en (1, −2).

Preguntas frecuentes

Un punto de inflexión es donde cambia la concavidad (la dirección de curvatura) de la gráfica. Para y = ax³ + bx² + cx + d, se iguala la segunda derivada d²y/dx² = 6ax + 2b a cero para obtener x = −b ÷ (3a). En ese punto, la curva pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba (o viceversa).

Un máximo local es un punto donde y es mayor que en los puntos cercanos (un pico local); un mínimo local es donde y es menor (un valle local). Se encuentran resolviendo dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0 y comprobando el signo de la segunda derivada (negativo → máximo, positivo → mínimo). Si el discriminante es ≤ 0, no hay extremos locales.

Sí. La ecuación ax³ + bx² + cx + d = 0 (con coeficientes reales) siempre tiene al menos una raíz real. Por el teorema del valor intermedio, como y → +∞ cuando x → +∞ e y → −∞ cuando x → −∞ (para a > 0), la gráfica debe cruzar el eje x al menos una vez.

La dirección de la gráfica se invierte: en lugar de subir de izquierda-abajo a derecha-arriba, baja de izquierda-arriba a derecha-abajo. Los extremos locales ocurren en las mismas coordenadas x, pero los valores y son opuestos en signo respecto al caso a > 0.

A propósito — La rivalidad detrás de la fórmula cúbica

La solución general de las ecuaciones cúbicas (fórmula de Cardano) provocó una amarga disputa entre matemáticos italianos del siglo XVI. Niccolò Tartaglia descubrió el método y se lo compartió a Gerolamo Cardano bajo promesa de no publicarlo. Sin embargo, Cardano lo publicó en su obra Ars Magna (1545), desatando la ira de Tartaglia, quien lo acusó de plagio.

Curiosamente, la resolución de ecuaciones cúbicas impulsó la invención de los números complejos. Incluso cuando la ecuación solo tiene raíces reales, la fórmula de Cardano puede requerir calcular raíces cuadradas de números negativos en pasos intermedios. Rafael Bombelli demostró que tratando estos "números imaginarios" formalmente se obtenían las soluciones reales correctas, sentando las bases de la teoría de números complejos.

Más herramientas en esta categoría