수학
삼차함수 그래프（y = ax³ + bx² + cx + d）
계수 a~d를 입력하여 삼차함수 y = ax³ + bx² + cx + d의 그래프를 그립니다. 변곡점과 극대·극소를 자동으로 계산합니다.
사용 팁
- 삼차 계수 a는 그래프의 전체 방향을 결정합니다. a > 0이면 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 증가, a < 0이면 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 감소합니다.
- 변곡점은 그래프의 오목·볼록이 전환되는 점으로, x 좌표는 x = −b ÷ (3a)입니다. 그래프에 주황색 마름모로 표시됩니다.
- 극값은 dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0을 풀어 구합니다. 극대는 초록 점, 극소는 보라 점으로 표시됩니다. 판별식이 ≤ 0이면 극값이 없는 단조 함수입니다.
- 기본값은 y = x³ − 3x (a=1, b=0, c=-3, d=0)로, 극대 (−1, 2)와 극소 (1, −2)를 가진 전형적인 삼차함수입니다.
자주 묻는 질문
변곡점은 그래프의 오목·볼록(곡률 방향)이 전환되는 점입니다. y = ax³ + bx² + cx + d에서 이계도함수 d²y/dx² = 6ax + 2b = 0을 풀면 x = −b ÷ (3a)를 얻습니다. 이 점에서 그래프는 "아래로 볼록"에서 "위로 볼록"으로(또는 반대로) 전환됩니다.
극대는 주변보다 y가 큰 국소적인 꼭대기, 극소는 주변보다 y가 작은 국소적인 골짜기입니다. 일계도함수 dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0을 풀어 각 점에서 이계도함수의 부호로 판정합니다(음수 → 극대, 양수 → 극소). 판별식이 ≤ 0이면 극값이 없어 단조 증가 또는 단조 감소합니다.
네. 실수 계수를 가진 삼차방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0은 반드시 적어도 하나의 실수 근을 가집니다. 중간값 정리에 의해 a > 0일 때 x → +∞에서 y → +∞, x → −∞에서 y → −∞이므로 그래프는 반드시 x축을 적어도 한 번 지납니다.
그래프의 방향이 반전됩니다. a > 0일 때 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 증가하던 그래프가 a < 0이면 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 감소합니다. 극값의 x 좌표는 같지만 y 값은 a > 0인 경우와 부호가 반대가 됩니다.
여담 ― 삼차방정식 공식을 둘러싼 수학자들의 갈등
삼차방정식의 일반해(카르다노 공식)를 둘러싸고 16세기 이탈리아 수학자들은 격렬한 분쟁을 벌였습니다. 니콜로 타르탈리아가 삼차방정식 풀이법을 발견하여 "공개하지 않겠다"는 약속 하에 지롤라모 카르다노에게 전수했습니다. 그러나 카르다노는 1545년 저서 『아르스 마그나』에 이 공식을 발표했고, 타르탈리아는 표절이라며 격렬히 비난했습니다.
흥미롭게도 삼차방정식의 풀이는 허수 개념의 탄생을 촉진했습니다. 실수 근만을 갖는 삼차방정식도 카르다노 공식을 적용하는 과정에서 √(−1) 같은 항이 등장할 수 있습니다. 라파엘 봄벨리는 이 "허수"를 형식적으로 다루면 올바른 실수 해를 얻을 수 있음을 보여 복소수론의 싹을 틔웠습니다.