수학
이차함수 그래프（y = ax² + bx + c）
계수 a, b, c를 입력하여 이차함수 y = ax² + bx + c의 포물선을 그립니다. 꼭짓점, 대칭축, 판별식, 실수 근을 자동으로 계산합니다.
사용 팁
- 이차 계수 a는 포물선의 형태를 결정합니다. a > 0이면 위로 볼록(아래 방향 개구), a < 0이면 아래로 볼록(위 방향 개구)입니다. |a|가 클수록 포물선이 좁아집니다.
- 꼭짓점의 x 좌표는 x = −b ÷ (2a)입니다. 꼭짓점은 a > 0일 때 최솟값, a < 0일 때 최댓값 점이며, 그래프에 파란 마름모로 표시됩니다.
- 판별식 D = b² − 4ac의 부호로 실수 근의 개수를 판별합니다. D > 0: x축과 두 점에서 교차(초록 점); D = 0: 접함(중근); D < 0: 교점 없음.
- 그래프에 마우스를 올리면 임의 점의 (x, y) 좌표를 확인할 수 있습니다. 왼쪽에 x 값을 입력하면 해당 y 값을 자동으로 계산합니다.
자주 묻는 질문
a = 0이면 이차항이 없어져 y = bx + c(일차함수 또는 상수)가 됩니다. 이 도구는 이차함수 시각화를 위해 설계되었으므로 a = 0은 입력할 수 없습니다. 직선을 그리려면 "일차함수 그래프" 도구를 이용하세요.
판별식 D = b² − 4ac는 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 실수 근의 개수를 판별합니다. D > 0: 서로 다른 두 실수 근; D = 0: 중근; D < 0: 실수 근 없음(복소수 근만 존재). 그래프에서는 D > 0이면 포물선이 x축과 두 점에서 교차, D = 0이면 접함, D < 0이면 교점이 없습니다.
y = ax² + bx + c를 완전제곱식으로 변환하면 꼭짓점 형태 y = a(x − p)² + q를 얻습니다(p = −b/(2a), q = c − b²/(4a)). 이 도구는 일반형으로 입력받아 꼭짓점 좌표 (p, q)를 자동으로 계산·표시합니다.
네. a, b, c를 변경하면 그래프가 실시간으로 업데이트되어 각 계수가 포물선의 형태에 미치는 영향을 직관적으로 이해할 수 있습니다. 중학교·고등학교 이차함수 단원 학습에 활용하기 좋습니다.
여담 ― "포물선"이라는 이름의 유래
"포물선(parabola)"이라는 이름은 고대 그리스 수학자 아폴로니우스(기원전 262~190년경)가 원뿔 곡선을 연구하면서 붙인 것입니다. 그리스어 "παραβολή"(파라볼레)는 "나란히 놓다"를 의미하며, 포물선 위의 점들이 초점과 준선에서 같은 거리에 있다는 기하학적 성질을 표현합니다.
현실 세계에서 포물선이 등장하는 가장 유명한 예는 공기 저항을 무시했을 때의 포물체 운동 궤적으로, 갈릴레오 갈릴레이가 17세기 실험을 통해 발견했습니다. 손전등이나 자동차 전조등의 반사경은 포물면(포물선을 회전시킨 곡면)을 활용하여 초점에 놓인 광원을 평행 광선으로 변환합니다.