数学
三次函数图像（y = ax³ + bx² + cx + d）
输入系数 a 至 d，绘制三次函数 y = ax³ + bx² + cx + d 的图像。自动计算拐点及极大值、极小值。
使用技巧
- 三次系数 a 决定曲线的总体走向。a > 0 时从左下延伸至右上；a < 0 时从左上延伸至右下。
- 拐点是图像凹凸性发生改变的点，其 x 坐标为 x = −b ÷ (3a)，在图像上以橙色菱形标出。
- 极值通过求解 dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0 得到。极大值以绿点表示，极小值以紫点表示。若该方程的判别式 ≤ 0，则无极值，函数单调。
- 默认为 y = x³ − 3x（a=1, b=0, c=-3, d=0），这是一个典型三次函数，具有极大值 (−1, 2) 和极小值 (1, −2)。
常见问题
拐点是图像凹凸性（弯曲方向）发生改变的点。对于 y = ax³ + bx² + cx + d，令二阶导数 d²y/dx² = 6ax + 2b = 0，解得 x = −b ÷ (3a)。在该点处，图像的弯曲方向从"向下弯"变为"向上弯"（或反之）。
极大值是局部的"山顶"（周围点的 y 值均较小），极小值是局部的"谷底"（周围点的 y 值均较大）。通过求解 dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0，再根据二阶导数的符号判定（负值 → 极大，正值 → 极小）。若判别式 ≤ 0，则无极值，函数单调。
是的。对于实系数三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0，至少存在一个实数根。由介值定理可知，当 a > 0 时，x → +∞ 时 y → +∞，x → −∞ 时 y → −∞，因此图像必然至少穿过 x 轴一次。
图像方向反转：由原来的从左下升至右上，变为从左上降至右下。极值点的 x 坐标不变，但对应 y 值与 a > 0 时的情况符号相反。
闲话 ― 三次方程公式背后的数学家之争
三次方程的一般解（卡尔达诺公式）引发了 16 世纪意大利数学家之间的激烈争执。尼科洛·塔尔塔利亚秘密发现了解法，在"绝不公开"的承诺下将其传授给杰拉莫·卡尔达诺。然而卡尔达诺于 1545 年在其著作《大术》（Ars Magna）中发表了该公式，引发了塔尔塔利亚的强烈谴责。
值得一提的是，求解三次方程的过程推动了虚数概念的诞生。即使方程只有实数根，卡尔达诺公式的中间步骤也可能出现 √(−1) 这样的项。拉斐尔·邦贝利通过形式化地处理这些"虚数"，成功推导出正确的实数解，为复数理论奠定了基础。