数学
二次函数图像（y = ax² + bx + c）
输入系数 a、b、c，绘制二次函数 y = ax² + bx + c 的抛物线图像。自动计算顶点、对称轴、判别式和实数根。
使用技巧
- 二次系数 a 决定抛物线的开口方向。a > 0 时开口向上，a < 0 时开口向下。|a| 越大，抛物线越窄。
- 顶点的 x 坐标为 x = −b ÷ (2a)。顶点是 a > 0 时的最小值点或 a < 0 时的最大值点，在图像上以蓝色菱形标出。
- 判别式 Δ = b² − 4ac 决定实数根的个数。Δ > 0：与 x 轴交于两点（绿点）；Δ = 0：与 x 轴相切（重根）；Δ < 0：与 x 轴不相交。
- 将鼠标悬停在图像上可查看任意点的 (x, y) 坐标。在左侧输入 x 值可自动计算对应的 y 值。
常见问题
a = 0 时二次项消失，函数变为 y = bx + c（一次函数或常数）。本工具专用于二次函数可视化，因此不接受 a = 0。如需绘制直线，请使用"一次函数图像"工具。
判别式 Δ = b² − 4ac 用于判断方程 ax² + bx + c = 0 的实数根个数。Δ > 0：两个不等实根；Δ = 0：重根（相同的根重复两次）；Δ < 0：无实数根（仅有复数根）。在图像上，Δ > 0 表示抛物线与 x 轴交于两点，Δ = 0 表示相切，Δ < 0 表示不相交。
对 y = ax² + bx + c 进行配方，可得顶点式 y = a(x − p)² + q，其中 p = −b/(2a)，q = c − b²/(4a)。本工具接受一般式输入，并自动计算并显示顶点坐标 (p, q)。
适合。改变 a、b、c 的值，图像会实时更新，便于直观理解各系数对图像形状的影响，适用于初中至高中数学的二次函数学习。
闲话 ― "抛物线"名称的由来
"抛物线（parabola）"这一名称由古希腊数学家阿波罗尼乌斯（约公元前 262—前 190 年）在研究圆锥曲线时命名。希腊语"παραβολή"（parabole）意为"并排放置"，指的是抛物线上的点到焦点和准线距离相等这一几何性质。
在现实世界中，抛物线最著名的出现是忽略空气阻力时抛体的运动轨迹，由伽利略在 17 世纪通过实验发现。手电筒和汽车前照灯的反射镜采用旋转抛物面，能将焦点处的光源转换为平行光束。