Vérificateur de nombres premiers — jusqu'à 1 000 chiffres
Vérifiez instantanément si un nombre de 1 000 chiffres au plus est premier. Avec la factorisation, les premiers voisins, les étapes de division et le test utilisé.
Les 168 nombres premiers inférieurs à 1 000
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 |
| 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
| 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
| 157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
| 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
| 283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
| 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 |
| 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 |
| 509 | 521 | 523 | 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
| 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
| 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 |
| 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
| 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 |
| 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
Tous les autres nombres inférieurs à 1 000 sont composés : ils possèdent au moins un diviseur autre que 1 et eux-mêmes.
Combien y a-t-il de nombres premiers sous chaque puissance de dix ?
| Jusqu'à | Nombres premiers, π(x) | Proportion de premiers |
|---|---|---|
| 10 | 4 | 40% |
| 100 | 25 | 25% |
| 1,000 | 168 | 16.8% |
| 10⁴ | 1,229 | 12.29% |
| 10⁵ | 9,592 | 9.59% |
| 10⁶ | 78,498 | 7.85% |
| 10⁷ | 664,579 | 6.65% |
| 10⁸ | 5,761,455 | 5.76% |
| 10⁹ | 50,847,534 | 5.08% |
| 10¹⁰ | 455,052,511 | 4.55% |
| 10¹² | 37,607,912,018 | 3.76% |
| 10¹⁵ | 29,844,570,422,669 | 2.98% |
π(x) est la fonction de compte des nombres premiers : combien de premiers ne dépassent pas x. La proportion ne cesse de diminuer — près de x, environ 1 nombre sur ln(x) est premier — mais elle n'atteint jamais zéro, car les nombres premiers sont en quantité infinie.
Qu'est-ce qu'un vérificateur de nombres premiers ?
Un vérificateur de nombres premiers détermine si un entier donné n'a pas d'autres diviseurs que 1 et lui-même. Pour les petits nombres, cela se vérifie facilement à la main par division successive, mais pour les grands nombres — candidats à des clés cryptographiques, problèmes de concours mathématiques ou nombres de plusieurs centaines de chiffres — la division successive devient impossible en un temps raisonnable, et il faut recourir à un test probabiliste ou déterministe hybride.
Cet outil accepte des entiers jusqu'à 1 000 chiffres et choisit automatiquement le test le plus rapide qui reste mathématiquement fiable : division successive pour les petits nombres, test de Miller-Rabin déterministe pour les nombres inférieurs à environ 3,3 × 10²⁴, et Baillie-PSW au-delà. Il affiche aussi la factorisation en nombres premiers, les nombres premiers voisins et le test précis qui a permis d'établir le résultat.
Comment vérifier si un nombre est premier
- Saisissez le nombre Tapez ou collez un entier de 1 000 chiffres au plus dans le champ prévu. Les virgules et les espaces sont ignorés automatiquement.
- Lisez le résultat Le résultat indique si le nombre est premier, composé, ou le cas particulier de 1, ainsi que le test qui a permis de le déterminer.
- Consultez les détails Examinez la factorisation, les nombres premiers voisins et des propriétés comme le statut de nombre premier jumeau ou de nombre de Mersenne.
- Suivez les étapes de la division Pour les nombres plus petits, un tableau montre précisément quels diviseurs ont été testés.
Astuces pour en tirer le meilleur parti
- Un nombre premier est un entier supérieur à 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même. La suite commence par 2, 3, 5, 7, 11, 13, … et ne s'arrête jamais.
- Le test de primalité le plus simple est la division d'essai : diviser N par chaque entier de 2 jusqu'à √N. S'arrêter à √N suffit, car si N = a × b, le plus petit des deux facteurs ne peut pas dépasser √N.
- À la main, on écarte la plupart des nombres en quelques secondes : les nombres pairs (hormis 2), ceux qui se terminent par 5 et ceux dont la somme des chiffres est un multiple de 3 sont tous composés. De plus, tout nombre premier supérieur à 3 s'écrit 6k − 1 ou 6k + 1.
- Pour les grands nombres, la division d'essai est hors de portée et les ordinateurs utilisent les tests de Miller-Rabin et de Baillie–PSW. Cette page les exécute, si bien que vous pouvez coller un nombre de 1 000 chiffres et obtenir la réponse en moins d'une seconde.
- 1 n'est pas premier — la définition exige « supérieur à 1 » — et 2 est le seul nombre premier pair, car tout autre nombre pair est divisible par 2.
Cas d'usage
Vérifier un devoir ou un problème de concours
Confirmez rapidement si un nombre présenté comme premier dans une démonstration ou un exercice est réellement correct, avec la factorisation complète si ce n'est pas le cas.
Explorer des notions de cryptographie
Testez de grands nombres candidats pour voir concrètement comment fonctionne un test de primalité de type RSA, en comparant division successive et tests de Miller-Rabin ou Baillie-PSW sur la même entrée.
Vérifier des propriétés particulières d'un nombre
Découvrez si un nombre est un premier jumeau, un nombre premier de Sophie Germain, de Mersenne ou de Fermat sans consulter de table de référence.
Apprendre la programmation et les algorithmes
Utilisez le tableau des étapes de division pour comprendre exactement comment un test de primalité aboutit à son résultat avant de l'implémenter vous-même.
Glossaire
- Nombre premier
- Un entier supérieur à 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même. La suite commence par 2, 3, 5, 7, 11, 13, … et ne s'arrête jamais.
- Nombre composé
- Un entier possédant d'autres diviseurs que 1 et lui-même, qui peut s'écrire comme un produit de nombres premiers.
- Division successive
- Tester si un entier compris entre 2 et √N divise N. C'est une preuve complète, mais elle devient trop lente pour les très grands nombres.
- Test de Miller-Rabin
- Un test basé sur les propriétés des racines carrées de 1 modulo N. Avec suffisamment de bases témoins, il devient déterministe pour les nombres inférieurs à environ 3,3 × 10²⁴.
- Test de Baillie-PSW
- Une combinaison du test de Miller-Rabin et d'un test de Lucas fort, utilisée pour les nombres trop grands pour un test déterministe. Aucun nombre composé n'est connu pour le franchir.
- Nombre premier probable
- Un nombre ayant passé un test de primalité solide comme Baillie-PSW sans preuve déterministe complète — très probablement premier, mais pas mathématiquement certain.
- Nombres premiers jumeaux
- Un nombre premier qui diffère d'un autre nombre premier de exactement 2, comme 11 et 13. L'existence d'une infinité de telles paires reste un problème ouvert en mathématiques.
- Nombre premier de Mersenne
- Un nombre premier de la forme 2^p − 1. Les plus grands nombres premiers jamais découverts sont presque toujours des nombres de Mersenne, trouvés grâce à des projets de calcul distribué comme GIMPS.
Questions fréquentes
Anecdote — Pourquoi les nombres premiers sont-ils importants
On appelle souvent les nombres premiers les « atomes de l'arithmétique ». Le théorème fondamental de l'arithmétique affirme que tout entier supérieur à 1 s'écrit comme un produit de nombres premiers d'une seule manière : les premiers sont donc les briques irréductibles à partir desquelles tous les entiers sont assemblés. C'est aussi pourquoi la décomposition affichée plus haut est unique : 360 vaut 2³ × 3² × 5, et rien d'autre.
Tester un nombre énorme est un problème différent de le factoriser, et l'histoire de cette distinction mérite d'être connue. Le petit théorème de Fermat fournit un test rapide, mais certains nombres composés le franchissent quelle que soit la base — le plus petit d'entre eux est 561, que vous pouvez essayer avec le bouton ci-dessus (on les appelle nombres de Carmichael). Le test de Miller-Rabin comble cette faille en examinant au passage les racines carrées de 1 et, avec les 13 premiers nombres premiers comme bases, il devient un test déterministe démontré pour tout nombre inférieur à environ 3,3 × 10²⁴. Au-delà, cette page ajoute un test de Lucas fort pour former Baillie–PSW : aucun nombre composé n'a jamais été trouvé qui le franchisse, mais la démonstration manque encore, d'où l'étiquette « premier probable » pour les très grands résultats.
Cette asymétrie — facile à tester, difficile à factoriser — est ce qui rend possible la cryptographie moderne. Le chiffrement RSA, qui protège toujours le trafic HTTPS et les signatures numériques, multiplie deux grands nombres premiers pour construire une clé publique. Retrouver ces premiers à partir du produit est considéré comme hors de portée du calcul, de sorte que les mêmes nombres, triviaux à vérifier, sont pratiquement impossibles à démonter. Cet écart se constate sur cette page : un nombre de 1 000 chiffres est déclaré premier ou composé presque instantanément, alors qu'un produit de 60 chiffres formé de deux premiers de 30 chiffres met en échec la factorisation.
Les nombres premiers abritent aussi quelques-uns des plus vieux problèmes ouverts des mathématiques. Personne ne sait s'il existe une infinité de premiers jumeaux — des couples comme 11 et 13, ou 1 000 000 000 061 et 1 000 000 000 063 — alors qu'Euclide a démontré vers 300 av. J.-C. que les nombres premiers, eux, ne s'épuisent jamais. La chasse aux records continue également : les volontaires du projet GIMPS explorent les nombres de Mersenne de la forme 2^p − 1, et le plus grand premier connu à ce jour, découvert en 2024, est 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1, un nombre de 41 024 320 chiffres.