Calculateur de l'Indicatrice d'Euler (Fonction φ, Nombres Premiers Entre Eux)

Saisissez un entier N (1 à 1 000 000) pour calculer instantanément combien d'entiers entre 1 et N sont premiers avec N (indicatrice d'Euler φ(N)), avec le résultat mais aussi la décomposition en facteurs premiers et la formule utilisée. Comprend gratuitement un tableau de référence de φ(n) de 1 à 100.

Dernière mise à jour : 2026-09-06

Tableau de référence de φ(n) de 1 à 100

Un tableau récapitulant la décomposition en facteurs premiers et la valeur de l'indicatrice d'Euler pour chaque entier de 1 à 100.

N	Décomposition	φ(n)
1	1	1
2	2	1
3	3	2
4	2²	2
5	5	4
6	2 × 3	2
7	7	6
8	2³	4
9	3²	6
10	2 × 5	4
11	11	10
12	2² × 3	4
13	13	12
14	2 × 7	6
15	3 × 5	8
16	2⁴	8
17	17	16
18	2 × 3²	6
19	19	18
20	2² × 5	8
21	3 × 7	12
22	2 × 11	10
23	23	22
24	2³ × 3	8
25	5²	20
26	2 × 13	12
27	3³	18
28	2² × 7	12
29	29	28
30	2 × 3 × 5	8
31	31	30
32	2⁵	16
33	3 × 11	20
34	2 × 17	16
35	5 × 7	24
36	2² × 3²	12
37	37	36
38	2 × 19	18
39	3 × 13	24
40	2³ × 5	16
41	41	40
42	2 × 3 × 7	12
43	43	42
44	2² × 11	20
45	3² × 5	24
46	2 × 23	22
47	47	46
48	2⁴ × 3	16
49	7²	42
50	2 × 5²	20
51	3 × 17	32
52	2² × 13	24
53	53	52
54	2 × 3³	18
55	5 × 11	40
56	2³ × 7	24
57	3 × 19	36
58	2 × 29	28
59	59	58
60	2² × 3 × 5	16
61	61	60
62	2 × 31	30
63	3² × 7	36
64	2⁶	32
65	5 × 13	48
66	2 × 3 × 11	20
67	67	66
68	2² × 17	32
69	3 × 23	44
70	2 × 5 × 7	24
71	71	70
72	2³ × 3²	24
73	73	72
74	2 × 37	36
75	3 × 5²	40
76	2² × 19	36
77	7 × 11	60
78	2 × 3 × 13	24
79	79	78
80	2⁴ × 5	32
81	3⁴	54
82	2 × 41	40
83	83	82
84	2² × 3 × 7	24
85	5 × 17	64
86	2 × 43	42
87	3 × 29	56
88	2³ × 11	40
89	89	88
90	2 × 3² × 5	24
91	7 × 13	72
92	2² × 23	44
93	3 × 31	60
94	2 × 47	46
95	5 × 19	72
96	2⁵ × 3	32
97	97	96
98	2 × 7²	42
99	3² × 11	60
100	2² × 5²	40

Ce qu’est l’indicatrice d’Euler

L’indicatrice d’Euler φ(n) compte combien d’entiers de 1 à n sont premiers avec n. Être premiers entre eux signifie que leur plus grand commun diviseur vaut 1, autrement dit qu’ils ne partagent aucun facteur premier. Ainsi φ(9) vaut 6, car 1, 2, 4, 5, 7 et 8 ne partagent aucun facteur premier avec 9.

Cet outil tire φ(N) de l’entier que vous saisissez et montre, outre la réponse, **la décomposition en facteurs premiers de N et la formule qui mène de celle-ci à φ(N)**. La formule est φ(n) = n × Π(1 − 1/p), le produit portant sur les facteurs premiers distincts p de n. Quel que soit le nombre de fois qu’un premier se répète, il n’entre qu’une fois dans le produit : l’exposant ne change rien au résultat. Tout entier de 1 à 1 000 000 est accepté, et une table de φ(n) de 1 à 100 figure plus bas.

Comment se servir du calculateur

Saisissez l’entier N Donnez un entier de 1 à 1 000 000. Toute valeur hors de cet intervalle, ou non entière, entraîne un message.
Lisez la valeur de φ(N) Au fil de la saisie paraît le nombre d’entiers de 1 à N qui sont premiers avec N.
Vérifiez la décomposition On vous montre en quels nombres premiers N se décompose : un fil à suivre si vous voulez voir d’où vient la valeur de φ(N).
Suivez la déduction par la formule La formule φ(n) = n × Π(1 − 1/p) s’affiche avec les facteurs premiers réels déjà substitués, prête à contrôler un calcul mené à la main.
Comparez avec la table Une liste de φ(n) de 1 à 100 se tient plus bas, où des régularités sautent aux yeux – ainsi φ d’un nombre premier vaut ce nombre moins un.

Astuces pour en tirer le meilleur parti

L'indicatrice d'Euler φ(n) compte les entiers entre 1 et n qui sont premiers avec n. Par exemple, φ(9) = 6 (1, 2, 4, 5, 7 et 8 sont premiers avec 9).
Lorsque n est un nombre premier p, φ(p) = p − 1, car tous les nombres de 1 à p sauf p lui-même sont premiers avec un nombre premier.
Lorsque n est le produit de deux nombres premiers distincts p et q, φ(pq) = (p−1)(q−1) — une propriété utilisée directement dans la génération des clés RSA.
La formule φ(n) = n × Π(1 − 1/p) est un produit sur les facteurs premiers distincts p de n ; l'exposant de chaque facteur premier n'affecte pas le résultat.
Cet outil couvre la plage de 1 à 1 000 000 et calcule φ(n) instantanément par décomposition en facteurs premiers par division d'essai.

Où l’indicatrice d’Euler est utile

Étudier la théorie des nombres et corriger ses devoirs

Vérifiez si le φ(n) trouvé à la main est juste. La décomposition et la formule figurant à côté, on repère une faute dans la déduction et pas seulement dans le résultat.

Comprendre le fonctionnement du RSA

Le RSA prend le produit n = pq de deux nombres premiers comme part de la clé publique, et bâtir la clé privée réclame φ(n) = (p−1)(q−1). Mené sur de petits nombres premiers, ce rapport devient tangible.

Vérifier le théorème d’Euler

Le théorème d’Euler affirme que, pour a premier avec n, a élevé à la puissance φ(n) laisse le reste 1 dans la division par n. Obtenez d’abord φ(n) et vous pourrez éprouver le théorème sur de petits nombres.

Observer la propriété multiplicative

Lorsque m et n sont premiers entre eux, φ(mn) = φ(m)φ(n). En combinant des valeurs de la table, on voit que cela tient vraiment.

Quand c’est la décomposition que vous cherchez

S’il ne vous faut que les facteurs, prenez la décomposition en facteurs premiers ; pour savoir si un nombre est premier, le test de primalité.

Termes relatifs à l’indicatrice d’Euler

Indicatrice d’Euler: La fonction qui renvoie combien d’entiers de 1 à n sont premiers avec n. On l’écrit φ(n) ; elle fut introduite par Leonhard Euler au XVIIIe siècle.
Premiers entre eux: État de deux entiers dont le plus grand commun diviseur vaut 1, ce qui revient à ne partager aucun facteur premier.
Décomposition en facteurs premiers: L’écriture d’un entier comme produit de nombres premiers. φ(n) ne dépendant que des facteurs premiers distincts de n, le calcul part de cette décomposition.
Fonction multiplicative: Fonction pour laquelle f(mn) = f(m)f(n) dès que m et n sont premiers entre eux. φ possède cette propriété, d’où la possibilité de reconstituer la valeur d’un grand nombre à partir de ses facteurs premiers.
Théorème d’Euler: Le théorème selon lequel, pour tout a premier avec n, a élevé à la puissance φ(n) laisse toujours le reste 1 dans la division par n. Restreint à un module premier, c’est le petit théorème de Fermat.
RSA: Chiffrement à clé publique qui prend le produit de deux grands nombres premiers pour clé publique. La clé privée réclame φ(n), et le fait que φ(n) ne s’obtienne pas sans décomposer n est l’un des fondements de sa sûreté.

Questions fréquentes

Au-delà de son rôle fondamental en théorie des nombres, elle est centrale en cryptographie, en particulier pour la génération des clés RSA. La clé privée RSA est obtenue à l'aide de φ(n) = (p−1)(q−1).

Par convention, on définit φ(1) = 1. Bien que le seul entier jusqu'à 1 pouvant être considéré soit 1 lui-même, définir φ(1) = 1 permet de conserver la cohérence des propriétés multiplicatives de la fonction, ce qui est la convention mathématique standard.

Oui. Un nombre premier p n'ayant pas d'autres diviseurs que 1 et lui-même, tous les entiers de 1 à p sauf p sont premiers avec lui, donc φ(p) = p − 1.

RSA utilise un nombre composé n = pq, produit de deux grands nombres premiers, comme partie de la clé publique. Le calcul de la clé privée nécessite φ(n) = (p−1)(q−1), mais φ(n) ne peut être trouvé sans factoriser n — cette difficulté de factorisation des grands nombres est le fondement de la sécurité de RSA.

Anecdote — La fonction du XVIIIe siècle qui compte ce qui est premier entre soi

L'indicatrice d'Euler a été introduite vers 1763 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, initialement dans le cadre de la généralisation du petit théorème de Fermat aux nombres composés. Le symbole φ (phi), aujourd'hui standard, n'a été adopté que plus tard par d'autres mathématiciens ayant systématisé la notation.

Compter les nombres premiers entre eux peut sembler simple, mais φ(n) possède plusieurs propriétés élégantes. Par exemple, en additionnant φ(d) pour chaque diviseur d de n, on obtient toujours n lui-même (Σφ(d) = n) — l'une des identités fondamentales de la théorie élémentaire des nombres.

Aujourd'hui, φ(n) joue un rôle essentiel dans la cryptographie RSA. RSA utilise le produit de deux grands nombres premiers n = pq comme partie de la clé publique, et le calcul de la clé privée nécessite φ(n) = (p−1)(q−1). Le fait que φ(n) ne puisse pas être calculé sans factoriser n (du moins avec les algorithmes actuellement connus) constitue l'un des piliers de la sécurité de RSA.

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