Verificador de números primos — até 1.000 dígitos

Verifique na hora se um número de até 1.000 dígitos é primo. Veja a fatoração, os primos vizinhos, os passos da divisão e qual teste confirmou o resultado.

Todos os 168 números primos menores que 1.000

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37
41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89
97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503
509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743
751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911
919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

Todos os outros números menores que 1.000 são compostos: têm pelo menos um divisor diferente de 1 e de si mesmos.

Quantos números primos existem abaixo de cada potência de dez?

Até	Primos, π(x)	Proporção de primos
10	4	40%
100	25	25%
1,000	168	16.8%
10⁴	1,229	12.29%
10⁵	9,592	9.59%
10⁶	78,498	7.85%
10⁷	664,579	6.65%
10⁸	5,761,455	5.76%
10⁹	50,847,534	5.08%
10¹⁰	455,052,511	4.55%
10¹²	37,607,912,018	3.76%
10¹⁵	29,844,570,422,669	2.98%

π(x) é a função de contagem de primos: quantos primos não excedem x. A proporção continua diminuindo — perto de x, cerca de 1 em cada ln(x) números é primo — mas nunca chega a zero, porque existem infinitos primos.

Dicas

Um número primo é um inteiro maior que 1 cujos únicos divisores são 1 e ele mesmo. A sequência começa com 2, 3, 5, 7, 11, 13, … e nunca termina.
O teste de primalidade mais simples é a divisão tentativa: divida N por cada inteiro de 2 até √N. Parar em √N é suficiente, porque se N = a × b, o menor dos dois fatores não pode passar de √N.
À mão você descarta a maioria dos números em segundos: números pares (exceto o 2), números terminados em 5 e números cujos dígitos somam um múltiplo de 3 são todos compostos. Além disso, todo primo maior que 3 tem a forma 6k − 1 ou 6k + 1.
Para números grandes a divisão tentativa é inviável e os computadores usam os testes de Miller-Rabin e Baillie–PSW. Esta página executa esses testes, então você pode colar um número de até 1.000 dígitos e ainda obter a resposta em menos de um segundo.
O 1 não é primo — a definição exige "maior que 1" — e o 2 é o único primo par, porque qualquer outro número par é divisível por 2.

Perguntas frequentes

Até 1.000 dígitos. Números abaixo de 10¹² são resolvidos por divisão tentativa, números abaixo de 3.317.044.064.679.887.385.961.981 por um teste determinístico de Miller-Rabin, e os maiores por Baillie–PSW. A fatoração prima e a busca pelos primos vizinhos abrangem uma faixa menor, já que ambas são bem mais custosas do que um teste de primalidade.

Para números acima de cerca de 3,3 × 10²⁴ o resultado vem do Baillie–PSW, que não tem contraexemplo conhecido, mas também não tem prova. Na prática é o teste em que as bibliotecas de criptografia se baseiam, então um veredicto de "provável primo" é extremamente confiável. Já o veredicto oposto nunca é duvidoso: quando um número é apontado como composto, uma testemunha ou um divisor foi realmente encontrado, e isso é uma prova.

Porque a definição de primo exige um inteiro maior que 1. Excluir o 1 é o que mantém a fatoração única: se o 1 contasse como primo, 6 poderia ser escrito como 2 × 3, como 1 × 2 × 3, como 1 × 1 × 2 × 3 e assim por diante, sem fim, e o Teorema Fundamental da Aritmética deixaria de valer.

2 não tem divisores além de 1 e dele mesmo, portanto satisfaz a definição. É também o único primo par: qualquer outro número par é divisível por 2 e, por isso, tem um terceiro divisor.

Não. Euclides provou por volta de 300 a.C. que os primos são infinitos: se você multiplicar qualquer lista finita de primos e somar 1, o resultado terá um fator primo que não está na lista. Existe apenas o maior primo conhecido, e esse recorde continua a ser batido — atualmente é 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1, descoberto em 2024.

Divida-o por cada primo até a sua raiz quadrada: 2, 3, 5, 7, 11 e assim por diante. Para 391, √391 ≈ 19,8, então bastam 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19 — e 17 o divide, resultando em 391 = 17 × 23. Os critérios de divisibilidade também ajudam: se os dígitos somam um múltiplo de 3, o número é divisível por 3.

Curiosidade — Por que os números primos são importantes

Os primos costumam ser chamados de "átomos da aritmética". O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todo inteiro maior que 1 pode ser escrito como produto de primos de uma única maneira, ou seja, os primos são as peças irredutíveis com que todos os números inteiros são montados. É também por isso que a fatoração exibida acima é única: 360 é 2³ × 3² × 5 e nada mais.

Testar um número enorme é um problema diferente de fatorá-lo, e vale conhecer a história dessa distinção. O pequeno teorema de Fermat oferece um teste rápido, mas alguns compostos escapam dele com qualquer base — o menor deles é 561, e você pode experimentá-lo com o botão acima (esses são os números de Carmichael). O teste de Miller-Rabin fecha essa brecha observando as raízes quadradas de 1 pelo caminho e, com os 13 primeiros primos como bases, torna-se um teste determinístico comprovado para todo número abaixo de cerca de 3,3 × 10²⁴. Acima disso, esta página acrescenta um teste forte de Lucas para formar o Baillie–PSW: nunca se encontrou um composto que passasse por ele, embora ainda não exista prova, e é por isso que resultados muito grandes recebem o rótulo de "provável primo".

Essa assimetria — fácil de testar, difícil de fatorar — é o que torna possível a criptografia moderna. A criptografia RSA, que ainda protege o tráfego HTTPS e as assinaturas digitais, multiplica dois primos grandes para formar uma chave pública. Acredita-se que recuperar esses primos a partir do produto seja computacionalmente inviável, de modo que os mesmos números triviais de verificar são praticamente impossíveis de desmontar. Você percebe essa diferença nesta página: um número de 1.000 dígitos é classificado como primo ou composto quase instantaneamente, mas um produto de 60 dígitos formado por dois primos de 30 dígitos derrota o fatorador.

Os primos também guardam alguns dos problemas em aberto mais antigos da matemática. Ninguém sabe se existem infinitos primos gêmeos — pares como 11 e 13, ou 1.000.000.000.061 e 1.000.000.000.063 — mesmo que Euclides tenha provado, por volta de 300 a.C., que os primos nunca acabam. A caça a primos recordistas também continua: voluntários do projeto GIMPS procuram números de Mersenne da forma 2^p − 1, e o maior primo conhecido até hoje, descoberto em 2024, é 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1, um número com 41.024.320 dígitos.

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41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89
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367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503
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Verificador de números primos — até 1.000 dígitos

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Quantos números primos existem abaixo de cada potência de dez?

Dicas

Perguntas frequentes

Qual é o maior número que este verificador aceita?

O que significa "provável primo"? Posso confiar na resposta?

Por que 1 não é um número primo?

Por que 2 é um número primo?

Existe um número primo maior que todos?

Como verificar se um número é primo sem computador?

Curiosidade — Por que os números primos são importantes

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37
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