Comprobador de números primos — hasta 1.000 cifras

Comprueba al instante si un número de hasta 1.000 cifras es primo. Incluye la factorización, los primos vecinos, los pasos de la división y qué prueba lo confirmó.

Los 168 números primos menores que 1.000

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37
41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89
97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503
509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743
751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911
919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

Todos los demás números menores que 1.000 son compuestos: tienen al menos un divisor distinto de 1 y de sí mismos.

¿Cuántos números primos hay por debajo de cada potencia de diez?

Hasta	Primos, π(x)	Proporción de primos
10	4	40%
100	25	25%
1,000	168	16.8%
10⁴	1,229	12.29%
10⁵	9,592	9.59%
10⁶	78,498	7.85%
10⁷	664,579	6.65%
10⁸	5,761,455	5.76%
10⁹	50,847,534	5.08%
10¹⁰	455,052,511	4.55%
10¹²	37,607,912,018	3.76%
10¹⁵	29,844,570,422,669	2.98%

π(x) es la función contadora de primos: cuántos primos no superan x. La proporción va disminuyendo — cerca de x, aproximadamente 1 de cada ln(x) números es primo — pero nunca llega a cero, porque hay infinitos primos.

Consejos

Un número primo es un entero mayor que 1 cuyos únicos divisores son 1 y él mismo. La secuencia comienza con 2, 3, 5, 7, 11, 13, … y nunca termina.
La prueba de primalidad más sencilla es la división de prueba: divide N entre cada entero desde 2 hasta √N. Basta con detenerse en √N, porque si N = a × b, el menor de los dos factores no puede superar √N.
A mano puedes descartar la mayoría de los números en segundos: los pares (salvo el 2), los que terminan en 5 y aquellos cuyas cifras suman un múltiplo de 3 son todos compuestos. Además, todo primo mayor que 3 tiene la forma 6k − 1 o 6k + 1.
Con números grandes la división de prueba resulta inviable y los ordenadores usan las pruebas de Miller-Rabin y Baillie–PSW. Esta página las implementa, así que puedes pegar un número de hasta 1.000 cifras y obtener la respuesta en menos de un segundo.
El 1 no es primo — la definición exige "mayor que 1" — y el 2 es el único primo par, porque cualquier otro número par es divisible por 2.

Preguntas frecuentes

Hasta 1.000 cifras. Los números por debajo de 10¹² se resuelven por división de prueba, los menores que 3.317.044.064.679.887.385.961.981 con una prueba determinista de Miller-Rabin, y los mayores con Baillie–PSW. La factorización y la búsqueda de primos vecinos abarcan un rango menor, porque ambas son mucho más costosas que una prueba de primalidad.

Para números por encima de unos 3,3 × 10²⁴ el resultado proviene de Baillie–PSW, que no tiene contraejemplos conocidos pero tampoco demostración. En la práctica es la prueba en la que confían las bibliotecas criptográficas, así que un veredicto de "primo probable" es extremadamente fiable. El veredicto contrario nunca ofrece dudas: cuando un número se declara compuesto es porque se ha encontrado realmente un testigo o un divisor, y eso es una demostración.

Porque la definición de primo exige un entero mayor que 1. Excluir el 1 es lo que mantiene única la factorización: si el 1 contara como primo, 6 podría escribirse como 2 × 3, como 1 × 2 × 3, como 1 × 1 × 2 × 3 y así sin fin, y el Teorema Fundamental de la Aritmética dejaría de cumplirse.

El 2 no tiene divisores distintos de 1 y de sí mismo, así que cumple la definición. También es el único primo par: cualquier otro número par es divisible por 2 y, por tanto, tiene un tercer divisor.

No. Euclides demostró hacia el 300 a.C. que los primos son infinitos: si multiplicas cualquier lista finita de primos y sumas 1, el resultado tiene un factor primo que no está en la lista. Solo existe el mayor primo conocido, y ese récord se sigue batiendo: ahora mismo es 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1, hallado en 2024.

Divídelo entre cada primo hasta su raíz cuadrada: 2, 3, 5, 7, 11, etc. Para 391, √391 ≈ 19,8, así que solo necesitas 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19 — y 17 lo divide, con lo que 391 = 17 × 23. Los criterios de divisibilidad también ayudan: si las cifras suman un múltiplo de 3, el número es divisible por 3.

A propósito — Por qué son importantes los números primos

A los primos se les suele llamar los "átomos de la aritmética". El Teorema Fundamental de la Aritmética afirma que todo entero mayor que 1 puede escribirse como producto de primos de una única manera, de modo que los primos son las piezas irreducibles con las que se construyen todos los números enteros. Por eso la factorización que se muestra arriba es única: 360 es 2³ × 3² × 5 y nada más.

Comprobar si un número enorme es primo es un problema distinto de factorizarlo, y merece la pena conocer la historia de esa diferencia. El pequeño teorema de Fermat ofrece una prueba rápida, pero algunos compuestos la superan con cualquier base: el menor de ellos es 561, y puedes probarlo con el botón de arriba (se llaman números de Carmichael). La prueba de Miller-Rabin cierra ese hueco examinando las raíces cuadradas de 1 por el camino y, con los 13 primeros primos como bases, se convierte en una prueba determinista demostrada para todo número por debajo de unos 3,3 × 10²⁴. Más allá de ese punto, esta página añade una prueba fuerte de Lucas para formar Baillie–PSW: nunca se ha encontrado un compuesto que la supere, aunque todavía no existe demostración, y por eso los resultados muy grandes se etiquetan como "primo probable".

Esa asimetría — fácil de comprobar, difícil de factorizar — es lo que hace posible la criptografía moderna. El cifrado RSA, que sigue protegiendo el tráfico HTTPS y las firmas digitales, multiplica dos primos grandes para construir una clave pública. Se cree que recuperar esos primos a partir del producto es computacionalmente inviable, de modo que los mismos números que resultan triviales de verificar son prácticamente imposibles de descomponer. Puedes ver la diferencia en esta página: un número de 1.000 cifras se declara primo o compuesto casi al instante, y sin embargo un producto de 60 cifras formado por dos primos de 30 cifras derrota al factorizador.

Los primos también guardan algunos de los problemas abiertos más antiguos de las matemáticas. Nadie sabe si hay infinitos primos gemelos — parejas como 11 y 13, o 1.000.000.000.061 y 1.000.000.000.063 — aunque Euclides demostrara hacia el 300 a.C. que los primos nunca se agotan. La caza de primos récord también continúa: los voluntarios del proyecto GIMPS buscan números de Mersenne de la forma 2^p − 1, y el mayor primo conocido hasta la fecha, hallado en 2024, es 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1, un número de 41.024.320 cifras.

Ver todas las curiosidades

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37
41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89
97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503
509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743
751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911
919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37
41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89
97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503
509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743
751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911
919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

Comprobador de números primos — hasta 1.000 cifras

Los 168 números primos menores que 1.000

¿Cuántos números primos hay por debajo de cada potencia de diez?

Consejos

Preguntas frecuentes

¿De cuántas cifras puede ser el número que compruebe esta herramienta?

¿Qué significa "primo probable"? ¿Puedo confiar en el resultado?

¿Por qué el 1 no es un número primo?

¿Por qué el 2 es un número primo?

¿Existe un número primo más grande que todos?

¿Cómo puedo comprobar si un número es primo sin ordenador?

A propósito — Por qué son importantes los números primos

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37
41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89
97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503
509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743
751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911
919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997