質數判斷器（免費）- 支援1000位、含質因數分解

輸入最多 1000 位的數字即可立即判斷是否為質數。同時顯示質因數分解、前後相鄰的質數、試除法步驟，以及本次結論由哪種判定法得出。免費、無需註冊。

1000 以內的全部 168 個質數

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37
41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89
97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503
509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743
751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911
919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

1000 以內其餘的數都是合數，即除了 1 和自身之外至少還有一個約數。

每個 10 的冪以內有多少個質數？

範圍上限	質數個數 π(x)	質數所佔比例
10	4	40%
100	25	25%
1,000	168	16.8%
10⁴	1,229	12.29%
10⁵	9,592	9.59%
10⁶	78,498	7.85%
10⁷	664,579	6.65%
10⁸	5,761,455	5.76%
10⁹	50,847,534	5.08%
10¹⁰	455,052,511	4.55%
10¹²	37,607,912,018	3.76%
10¹⁵	29,844,570,422,669	2.98%

π(x) 是質數計數函式，表示不超過 x 的質數個數。這個比例會不斷變小（在 x 附近大約每 ln(x) 個數中有 1 個質數），但永遠不會變成零，因為質數有無窮多個。

什麼是質數判斷器

質數判斷器用來判斷輸入的整數是否「除了 1 和自身之外沒有其他因數」。較小的數可以用手算試除來驗證，但面對密碼學中的候選大數、數學競賽題目，或是長達數百位的數字時，試除法在合理時間內根本無法完成，因此需要依數字規模切換不同的判定方法。

本工具最多支援 1000 位的整數，會依數字大小自動選擇既快速又數學上可靠的判定法：較小的數使用試除法，小於約 3.3×10²⁴ 的數使用米勒－拉賓檢驗得出確定性證明，更大的數則使用 Baillie–PSW 檢驗給出機率質數的結論。同時也會顯示質因數分解、前後相鄰的質數，以及具體是哪種方法得出了結論。

質數判斷的使用方法

輸入整數在輸入欄中輸入或貼上最多 1000 位的整數。逗號與空白會自動被忽略。
查看判定結果結果會顯示該數是質數、合數，還是 1 這個特殊情況，並註明使用了哪種判定法。
查看詳細資訊可以查看質因數分解、前後相鄰的質數，以及孿生質數、梅森質數等性質。
查看試除步驟對於較小的數字，可以在表格中查看實際嘗試過的每一個除數。

用好本工具的小技巧

質數是指大於 1 的整數中，除了 1 和它本身以外沒有其他因數的數。這個數列從 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 開始，並且永遠不會結束。
最基礎的質數檢測方法是試除法：用 2 到 √N 之間的每個整數去除 N。之所以到 √N 就可以停下，是因為如果 N = a × b，那麼較小的那個因數一定不超過 √N。
手算時也能很快排除大部分數字：除 2 以外的偶數、以 5 結尾的數、各位數字之和為 3 的倍數的數，都是合數。另外，大於 3 的質數一定是 6k − 1 或 6k + 1 的形式。
對於很大的數字，試除法並不現實，計算機會改用米勒–拉賓檢驗和 Baillie–PSW 檢驗。本頁面實現了這兩種方法，因此即使貼上一個 1000 位的數字，也能在一秒內得到結論。
1 不是質數，因為定義中要求「大於 1」。而 2 是唯一的偶質數，比它更大的偶數都能被 2 整除。

應用情境

核對作業或競賽答案

快速確認證明題或練習題中判定為質數的數字是否正確，若不是，還會一併顯示質因數分解。

體驗密碼學中的概念

輸入較大的候選數，體驗 RSA 等加密方式中質數判定的實際做法，並比較試除法與米勒－拉賓／Baillie–PSW 檢驗的差異。

查看數字的特殊性質

不必查閱資料表，即可當場確認一個數是否為孿生質數、蘇菲熱爾曼質數、梅森質數或費馬質數。

學習程式設計與演算法

透過試除步驟表了解質數判定演算法如何得出結論，為自行實作打下基礎。

術語解釋

質數: 大於 1 的整數中，除了 1 和自身之外沒有其他因數的數。2, 3, 5, 7, 11, 13, … 無窮延續。
合數: 除了 1 和自身之外還有其他因數的整數，可以寫成若干質數的乘積。
試除法: 用 2 到 √N 之間的整數依序去除 N 的判定方法。是完整的證明，但當 N 很大時無法在合理時間內完成。
米勒－拉賓檢驗: 利用模 N 下 1 的平方根性質進行判定的方法。使用足夠多的底數時，對小於約 3.3×10²⁴ 的數是確定性的證明。
Baillie–PSW 檢驗: 米勒－拉賓檢驗與強 Lucas 檢驗結合的判定法，用於無法給出確定性證明的大數，目前尚未發現任何反例。
機率質數: 通過了 Baillie–PSW 等強力判定法的數，極大機率是質數，但並非數學上的完全證明。
孿生質數: 如 11 與 13 這樣相差恰好為 2 的一對質數，是否有無窮多對至今仍是數學未解難題。
梅森質數: 形如 2 的 p 次方減 1 的質數，歷史上發現的多個最大質數都屬於這種形式。

常見問題

最多 1000 位。小於 10¹² 的數使用試除法，小於 3,317,044,064,679,887,385,961,981 的數使用確定性的米勒–拉賓檢驗，更大的數則使用 Baillie–PSW 檢驗。質因數分解和相鄰質數搜尋的計算量遠大於質數判定，因此支援範圍會小一些。

對於大約超過 3.3 × 10²⁴ 的數，結論來自 Baillie–PSW 檢驗。它目前沒有已知反例，但也沒有證明。實際上密碼學庫同樣依賴這一檢驗，所以「機率質數」的結論極為可靠。另外，相反方向的結論毫無疑義：顯示為合數時，說明確實找到了見證數或因數，那就是一個證明。

因為質數的定義要求「大於 1 的整數」。排除 1 才能保持質因數分解的唯一性：如果把 1 也算作質數，6 就可以寫成 2 × 3、1 × 2 × 3、1 × 1 × 2 × 3 等無窮多種形式，算術基本定理便不再成立。

2 除了 1 和它本身之外沒有別的因數，符合定義。它同時也是唯一的偶質數，因為比 2 更大的偶數都能被 2 整除，從而多出第三個因數。

不存在。西元前 300 年左右歐幾里得就證明了質數有無窮多個：把任意有限個質數相乘再加 1，所得的數一定含有不在這個列表中的質因數。存在的只是「目前已知最大的質數」，而這個紀錄一直在被打破，當前是 2024 年發現的 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1。

用不超過其平方根的質數依次去除即可：2, 3, 5, 7, 11, … 例如 391，√391 ≈ 19.8，所以只需試 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19，其中 17 能整除，得到 391 = 17 × 23。各位數字之和為 3 的倍數就能被 3 整除，這類技巧也很有用。

閒話 ― 質數為何如此重要

質數常被稱為「算術的原子」。算術基本定理指出，任何大於 1 的整數都能唯一地寫成若干質數之積，也就是說質數是構成所有整數、且無法再拆分的基本零件。上面顯示的質因數分解之所以是唯一的，原因也在這裡：360 就是 2³ × 3² × 5，不存在其他寫法。

判定一個巨大的數是否為質數，與把它分解成質因數，是兩個完全不同的問題，這一區別的歷史值得一說。利用費馬小定理可以做快速判定，但存在一些合數無論換哪個底都能矇混過關，其中最小的一個是 561，可以用上面的按鈕試一下（這類數稱為卡邁克爾數）。米勒–拉賓檢驗通過在中途檢查 1 的平方根堵住了這個漏洞，並且已經證明：以最前面的 13 個質數為底時，它對約 3.3 × 10²⁴ 以下的所有數都是確定性的判定法。超出這個範圍後，本頁面會加上強 Lucas 檢驗，構成 Baillie–PSW 檢驗。至今沒有發現任何能通過它的合數，但這一點尚未被證明，所以對非常大的數，結果會標註為「機率質數」。

正是這種「容易判定、難以分解」的不對稱性支撐起了現代密碼技術。至今仍在保護 HTTPS 通訊與數字簽名的 RSA 加密，就是把兩個大質數相乘來生成公鑰。人們相信從這個乘積還原出原來的兩個質數在計算上是不可行的，於是就形成了「驗證只需一瞬、分解卻做不到」的局面。這種差距在本頁面上也能親身體會：1000 位數字的質數判定幾乎瞬間完成，而兩個 30 位質數相乘得到的 60 位合數，卻分解不出來。

質數還留下了數學中最古老的一些未解難題。像 11 與 13，或者 1,000,000,000,061 與 1,000,000,000,063 這樣的孿生質數是否有無窮多對，至今無人知曉——儘管質數本身不會用盡這件事，早在西元前 300 年左右就被歐幾里得證明了。重新整理紀錄的搜尋也仍在繼續：GIMPS 專案的志願者們分頭檢驗形如 2^p − 1 的梅森數，目前已知最大的質數是 2024 年發現的 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1，共有 41,024,320 位。

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