Fibonacci-Rechner — n-tes Glied sofort & Diagramm zum Goldenen Schnitt

Berechne sofort jedes beliebige Glied der Fibonacci-Folge, exakt bis F(100) mit BigInt. Sieh, wie das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder gegen den Goldenen Schnitt φ konvergiert, erkunde die Lucas-Folge und ein Balkendiagramm der ersten N Glieder.

Zuletzt aktualisiert: 2026-08-26

Was ist die Fibonacci-Folge?

Die Fibonacci-Folge bildet jedes Glied durch Addition der zwei vorangehenden. Sie lautet 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, als Formel geschrieben F(n) = F(n−1) + F(n−2). Dieses Werkzeug listet die Glieder bis zur angegebenen Anzahl auf, nennt den genauen Wert des n-ten Glieds und stellt im Diagramm dar, wie sich das Verhältnis benachbarter Glieder dem goldenen Schnitt nähert.

Ab dem 79. Glied lassen sich die Werte mit gewöhnlichen Zahlen nicht mehr exakt darstellen, daher rechnet das Feld «n-tes Glied nachschlagen» mit Langzahlarithmetik fehlerfrei bis zum 100. Glied. Das Diagramm wächst hingegen naturgemäß exponentiell: Ab etwa dem 20. Glied werden die Balken extrem – halten Sie die Gliedanzahl klein, wenn Sie die Konvergenz beobachten wollen.

So verwenden Sie den Fibonacci-Rechner

Anzahl der anzuzeigenden Glieder festlegen Geben Sie an, wie viele Glieder in Liste und Diagramm erscheinen. Um die Konvergenz zu beobachten, liest es sich bei etwa 15 bis 20 am besten.
Das n-te Glied nachschlagen Tragen Sie die gewünschte Gliednummer ein, und ihr Wert erscheint. Exakte ganze Zahlen sind bis zum 100. Glied verfügbar.
Die Konvergenz des Verhältnisses prüfen Verfolgen Sie die Spalte F(n+1)/F(n), und Sie können zahlenmäßig nachvollziehen, wie sie sich mit fortschreitenden Gliedern dem goldenen Schnitt von etwa 1,618 nähert.

Tipps für die Nutzung

Die Fibonacci-Folge ist durch F(n) = F(n−1) + F(n−2) definiert, mit den Startwerten F(1) = F(2) = 1.
Das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder F(n+1)/F(n) konvergiert mit wachsendem n gegen den goldenen Schnitt φ ≈ 1,618. Beobachte dies in der Konvergenztabelle.
Für n > 78 können 64-Bit-Gleitkommazahlen in JavaScript Fibonacci-Zahlen nicht mehr exakt darstellen. Das Feld «Das n-te Glied finden» verwendet BigInt und berechnet F(n) exakt bis n = 100.
Fibonacci-Zahlen treten überall in der Natur auf: die spiralförmige Anordnung von Sonnenblumenkernen, Tannenzapfenschuppen und Nautilus-Schalen folgen Fibonacci-Mustern (Phyllotaxis).

Wann die Fibonacci-Folge nützlich ist

Mathe-Aufgaben und Nachrechnen

Vergleichen Sie mit einem von Hand berechneten n-ten Glied. Auch bei vielstelligen Gliedern kommen exakte ganze Zahlen zurück, sodass sich unterwegs kein Fehler einschleicht.

Den Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt bestätigen

Verfolgen Sie zahlenmäßig, wie sich das Verhältnis benachbarter Glieder 1,618 annähert. Das macht aus dem Wort «konvergiert» etwas wirklich Sichtbares.

Erwartungswerte für ein Programm vorbereiten

Beim Testen einer rekursiven oder dynamischen Umsetzung können Sie hier die als richtige Lösung zu verwendenden Werte bestätigen.

Als Maßstab für Schätzungen

Softwareteams nutzen beim Bemessen von Aufwand manchmal Werte nahe dieser Folge. Praktisch, um die Abstände zwischen den Stufen zu prüfen.

Begriffe zur Fibonacci-Folge

Rekursionsformel: Eine Formel, die das nächste Glied mithilfe der vorangehenden festlegt. Bei der Fibonacci-Folge ist das F(n) = F(n−1) + F(n−2).
Goldener Schnitt: Das Verhältnis von etwa 1,618, ausgedrückt als (1 + √5) / 2. Das Verhältnis benachbarter Fibonacci-Glieder konvergiert gegen diesen Wert.
Lucas-Zahlen: Eine Folge mit derselben Rekursion, aber anderen Anfangswerten. Sie lautet 1, 3, 4, 7, 11 und konvergiert mit derselben Geschwindigkeit gegen den goldenen Schnitt.
Formel von Binet: Eine Formel, die das n-te Glied direkt über den goldenen Schnitt statt über die Rekursion bestimmt. Sie liefert den Wert, ohne die Glieder eines nach dem anderen durchzugehen.
Langzahl: Ein Verfahren, ganze Zahlen ohne Begrenzung der Stellenzahl zu behandeln. Es erlaubt, das 79. Glied und die folgenden fehlerfrei zu berechnen.
Blattstellung: Die Regeln, nach denen Blätter und Samen einer Pflanze angeordnet sind. Fibonacci-Zahlen treten bekanntlich in Mustern wie den Spiralen der Sonnenblumenkerne auf.

Häufige Fragen

Beide Konventionen existieren. Dieses Tool verwendet die 1-indizierte Konvention F(1) = 1, F(2) = 1, die in der japanischen Gymnasialmathematik üblich ist. Die 0-indizierte Konvention F(0) = 0, F(1) = 1 ist ebenso gültig und in der Informatik weiter verbreitet.

Lucas-Zahlen teilen dieselbe Rekurrenz L(n) = L(n−1) + L(n−2) wie Fibonacci, haben aber andere Startwerte: L(1) = 1, L(2) = 3, was 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … ergibt. Sie konvergieren mit derselben Geschwindigkeit wie Fibonacci-Zahlen gegen den goldenen Schnitt.

Die Binet-Formel ist der geschlossene Ausdruck F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, mit φ = (1+√5)/2 und ψ = (1−√5)/2. Sie liefert jede Fibonacci-Zahl direkt aus n, ohne vorherige Glieder zu berechnen. In der Praxis führen Gleitkommafehler bei großem n zu Ungenauigkeiten, weshalb dieses Tool stattdessen ganzzahlige Iteration mit BigInt verwendet.

Übrigens – Fibonacci, der goldene Schnitt und die Binet-Formel

Die Folge wurde in Europa durch Leonardo von Pisa (Fibonacci) in seinem Buch Liber Abaci von 1202 verbreitet, wo er sie zur Modellierung des Kaninchenwachstums nutzte. Äquivalente Folgen tauchten jedoch bereits um 200 v. Chr. in der indischen Mathematik bei Pingala auf, der Versmaße untersuchte.

Der goldene Schnitt φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 erfüllt φ² = φ + 1, was der Schlüssel dafür ist, warum Fibonacci-Zahlen gegen ihn konvergieren. Die Binet-Formel liefert F(n) exakt: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, wobei ψ = (1 − √5) / 2 ≈ −0,618. Dieser geschlossene Ausdruck erlaubt die direkte Berechnung jeder Fibonacci-Zahl ohne Iteration.

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