Rechner für figurierte Zahlen (Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Fünfeckszahlen, Sechseckszahlen)
Berechne Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Fünfeckszahlen und Sechseckszahlen vom 1. bis zum N-ten Glied und vergleiche sie in einem Diagramm. Berechne sofort den Wert eines beliebigen n-ten Glieds. Mit einer Referenztabelle für die Glieder 1 bis 15.
Referenztabelle für die Glieder 1 bis 15 (Dreieck, Quadrat, Fünfeck, Sechseck)
Eine Tabelle mit den Werten der vier Arten figurierter Zahlen vom 1. bis zum 15. Glied.
| n | Dreieckszahlen | Quadratzahlen | Fünfeckszahlen | Sechseckszahlen |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| 6 | 21 | 36 | 51 | 66 |
| 7 | 28 | 49 | 70 | 91 |
| 8 | 36 | 64 | 92 | 120 |
| 9 | 45 | 81 | 117 | 153 |
| 10 | 55 | 100 | 145 | 190 |
| 11 | 66 | 121 | 176 | 231 |
| 12 | 78 | 144 | 210 | 276 |
| 13 | 91 | 169 | 247 | 325 |
| 14 | 105 | 196 | 287 | 378 |
| 15 | 120 | 225 | 330 | 435 |
Tipps
- Dreieckszahlen T(n) = n(n+1)/2 zählen die Gesamtzahl der Punkte, wenn sie zu einem gleichseitigen Dreieck aufgeschichtet werden. Die klassische Kegelaufstellung beim Bowling (10 Pins) ist die Dreieckszahl T(4) = 10.
- Quadratzahlen S(n) = n² zählen die Gesamtzahl der Punkte, die in einem Quadrat angeordnet sind. Bekannt ist auch die Eigenschaft, dass die Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen eine Quadratzahl ergibt (1, 1+3=4, 1+3+5=9, …).
- Fünfeckszahlen P(n) = n(3n−1)/2 und Sechseckszahlen H(n) = n(2n−1) zählen Punkte, die in einem regelmäßigen Fünfeck bzw. Sechseck angeordnet sind. Jede Sechseckszahl ist zugleich auch eine Dreieckszahl (H(n) = T(2n−1)).
- Im Diagramm lässt sich vergleichen, wie schnell die vier Arten wachsen. Bei gleichem n liefern Formen mit mehr Ecken (3, 4, 5, 6) tendenziell größere Werte.
- Dieses Tool unterstützt Berechnungen bis zum 1000. Glied. Da die Werte bei größerem n schnell wachsen, ist die Anzeige in Diagramm und Tabelle aus Gründen der Übersichtlichkeit auf 1–30 Glieder beschränkt.
Häufig gestellte Fragen
Übrigens – Das „Zahlengeheimnis“, das die Pythagoreer in figurierten Zahlen sahen
Die Erforschung figurierter (polygonaler) Zahlen reicht bis zur pythagoreischen Schule im antiken Griechenland um das 6. Jahrhundert v. Chr. zurück. Geleitet von der Überzeugung „Alles ist Zahl“, ordneten sie Kieselsteine zu geometrischen Formen an, um die Eigenschaften von Zahlen visuell zu erfassen. Die Namen „Dreieckszahlen“ und „Quadratzahlen“ selbst stammen von den Formen, die beim Anordnen der Punkte entstehen.
Zwischen Dreieckszahlen und Quadratzahlen besteht eine schöne Beziehung: Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ergibt stets eine Quadratzahl (z. B. T(3)+T(4) = 6+10 = 16 = 4²). Zeichnet man die Punktanordnung tatsächlich auf, wird dies intuitiv verständlich. Solche geometrischen Beweistechniken hatten großen Einfluss auf die spätere Entwicklung der Zahlentheorie.
Figurierte Zahlen bleiben auch in der modernen Mathematik ein aktives Forschungsthema – etwa die Eigenschaft, dass „jede Sechseckszahl auch eine Dreieckszahl ist“, oder die Suche nach Zahlen, die mehrere Definitionen figurierter Zahlen gleichzeitig erfüllen, sind bis heute beliebte Übungen in der Zahlentheorie. Es ist bemerkenswert, dass viele Eigenschaften, die die Pythagoreer vor 2500 Jahren durch das Anordnen von Kieselsteinen von Hand – ohne Papier oder schriftliches Rechnen – entdeckten, noch heute als gültige Sätze bestehen.