Rechner für figurierte Zahlen (Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Fünfeckszahlen, Sechseckszahlen)
Berechnen Sie Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Fünfeckszahlen und Sechseckszahlen vom 1. bis zum N-ten Glied und vergleichen Sie sie in einem Diagramm. Berechnen Sie sofort den Wert eines beliebigen n-ten Glieds. Mit einer Referenztabelle für die Glieder 1 bis 15.
Referenztabelle für die Glieder 1 bis 15 (Dreieck, Quadrat, Fünfeck, Sechseck)
Eine Tabelle mit den Werten der vier Arten figurierter Zahlen vom 1. bis zum 15. Glied.
| n | Dreieckszahlen | Quadratzahlen | Fünfeckszahlen | Sechseckszahlen |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| 6 | 21 | 36 | 51 | 66 |
| 7 | 28 | 49 | 70 | 91 |
| 8 | 36 | 64 | 92 | 120 |
| 9 | 45 | 81 | 117 | 153 |
| 10 | 55 | 100 | 145 | 190 |
| 11 | 66 | 121 | 176 | 231 |
| 12 | 78 | 144 | 210 | 276 |
| 13 | 91 | 169 | 247 | 325 |
| 14 | 105 | 196 | 287 | 378 |
| 15 | 120 | 225 | 330 | 435 |
Was figurierte Zahlen sind
Eine figurierte Zahl zählt die Punkte, wenn man sie regelmäßig zu einem Vieleck anordnet. Im Dreieck ergeben sich die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10 und so fort, im Quadrat die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, im Fünfeck die Fünfeckszahlen 1, 5, 12, 22. **Dass die Quadratzahlen mit den Quadraten ganzer Zahlen übereinstimmen**, liegt daran, dass im Quadrat angeordnete Punkte genau n × n ergeben – ein schlichtes Beispiel dafür, wie Geometrie und Algebra unmittelbar zusammentreffen.
Jede Familie besitzt eine handliche geschlossene Form: n(n+1)/2 für Dreieckszahlen, n² für Quadratzahlen, n(3n−1)/2 für Fünfeckszahlen und n(2n−1) für Sechseckszahlen. Auch Beziehungen untereinander sind bekannt: **zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen ergeben zusammen eine Quadratzahl**, und **die Sechseckszahlen stimmen mit den ungeradzahlig indizierten Dreieckszahlen überein.** Solche unerwarteten Verbindungen auftauchen zu sehen macht einen guten Teil des Reizes aus. Dieses Werkzeug berechnet vom ersten bis zum n-ten Glied und vergleicht sie im Diagramm; es liefert auch ein einzelnes Glied.
So berechnen Sie figurierte Zahlen
- Wählen Sie die Familie Wählen Sie Dreiecks-, Quadrat-, Fünfecks- oder Sechseckszahlen.
- Legen Sie die Zahl der Glieder fest Das erste bis n-te Glied erscheinen als Liste und als Diagramm.
- Vergleichen Sie das Wachstum im Diagramm Man sieht unmittelbar, dass die Folge umso steiler steigt, je mehr Ecken das Vieleck hat.
- Bestimmen Sie ein einzelnes Glied Für ein großes n lässt sich allein der Wert dieses Gliedes abfragen.
Tipps für die Nutzung
- Dreieckszahlen T(n) = n(n+1)/2 zählen die Gesamtzahl der Punkte, wenn sie zu einem gleichseitigen Dreieck aufgeschichtet werden. Die klassische Kegelaufstellung beim Bowling (10 Pins) ist die Dreieckszahl T(4) = 10.
- Quadratzahlen S(n) = n² zählen die Gesamtzahl der Punkte, die in einem Quadrat angeordnet sind. Bekannt ist auch die Eigenschaft, dass die Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen eine Quadratzahl ergibt (1, 1+3=4, 1+3+5=9, …).
- Fünfeckszahlen P(n) = n(3n−1)/2 und Sechseckszahlen H(n) = n(2n−1) zählen Punkte, die in einem regelmäßigen Fünfeck bzw. Sechseck angeordnet sind. Jede Sechseckszahl ist zugleich auch eine Dreieckszahl (H(n) = T(2n−1)).
- Im Diagramm lässt sich vergleichen, wie schnell die vier Arten wachsen. Bei gleichem n liefern Formen mit mehr Ecken (3, 4, 5, 6) tendenziell größere Werte.
- Dieses Tool unterstützt Berechnungen bis zum 1000. Glied. Da die Werte bei größerem n schnell wachsen, ist die Anzeige in Diagramm und Tabelle aus Gründen der Übersichtlichkeit auf 1–30 Glieder beschränkt.
Wofür sich das eignet
Folgen lernen
Halten Sie die Herleitung einer geschlossenen Form gegen die tatsächlichen Werte, um die Bedeutung der Formel zu bestätigen.
Beziehungen zwischen Folgen prüfen
Überzeugen Sie sich mit wirklichen Zahlen, dass zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen tatsächlich eine Quadratzahl ergeben.
Programmierübungen
Vergleichen Sie eine selbst geschriebene Funktion für figurierte Zahlen mit den richtigen Werten.
Vorarbeit für Rätsel und Wettbewerbsmathematik
Figurierte Zahlen tauchen in zahlentheoretischen Aufgaben häufig auf, und eine Wertetabelle erleichtert das Erkennen des Musters.
Begriffe zu figurierten Zahlen
- Dreieckszahl
- Die Anzahl im Dreieck angeordneter Punkte, geschlossene Form n(n+1)/2. **Sie entspricht der Summe der ganzen Zahlen von eins bis n.**
- Quadratzahl
- Die Anzahl im Quadrat angeordneter Punkte, also n².
- Fünfeckszahl
- Die Anzahl im regelmäßigen Fünfeck angeordneter Punkte, also n(3n−1)/2.
- Sechseckszahl
- Die Anzahl im regelmäßigen Sechseck angeordneter Punkte, also n(2n−1). **Sie stimmen mit den ungeradzahlig indizierten Dreieckszahlen überein.**
- Geschlossene Form
- Ein Ausdruck, der das n-te Glied einer Folge in Abhängigkeit von n angibt. Jede Familie figurierter Zahlen besitzt eine handliche.
- Satz über Vieleckszahlen
- Die Aussage, dass jede natürliche Zahl Summe von höchstens drei Dreiecks-, vier Quadrat- oder fünf Fünfeckszahlen ist.
Häufig gestellte Fragen
Übrigens – Das „Zahlengeheimnis“, das die Pythagoreer in figurierten Zahlen sahen
Die Erforschung figurierter (polygonaler) Zahlen reicht bis zur pythagoreischen Schule im antiken Griechenland um das 6. Jahrhundert v. Chr. zurück. Geleitet von der Überzeugung „Alles ist Zahl“, ordneten sie Kieselsteine zu geometrischen Formen an, um die Eigenschaften von Zahlen visuell zu erfassen. Die Namen „Dreieckszahlen“ und „Quadratzahlen“ selbst stammen von den Formen, die beim Anordnen der Punkte entstehen.
Zwischen Dreieckszahlen und Quadratzahlen besteht eine schöne Beziehung: Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ergibt stets eine Quadratzahl (z. B. T(3)+T(4) = 6+10 = 16 = 4²). Zeichnet man die Punktanordnung tatsächlich auf, wird dies intuitiv verständlich. Solche geometrischen Beweistechniken hatten großen Einfluss auf die spätere Entwicklung der Zahlentheorie.
Figurierte Zahlen bleiben auch in der modernen Mathematik ein aktives Forschungsthema – etwa die Eigenschaft, dass „jede Sechseckszahl auch eine Dreieckszahl ist“, oder die Suche nach Zahlen, die mehrere Definitionen figurierter Zahlen gleichzeitig erfüllen, sind bis heute beliebte Übungen in der Zahlentheorie. Es ist bemerkenswert, dass viele Eigenschaften, die die Pythagoreer vor 2500 Jahren durch das Anordnen von Kieselsteinen von Hand – ohne Papier oder schriftliches Rechnen – entdeckten, noch heute als gültige Sätze bestehen.