斐波那契數列計算器｜秒算第n項，附黃金比例收斂圖
立即計算斐波那契數列的第n項，使用 BigInt 精確計算至第100項。視覺化相鄰項之比對黃金比例 φ 的收斂過程、盧卡斯數以及前 N 項的柱狀圖。
斐波那契數列是什麼
斐波那契數列是將前兩項相加以產生下一項的數列。依序為 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13，以式子表示即 F(n) = F(n−1) + F(n−2)。本工具會顯示至指定項數的一覽、第n項的準確值，以及相鄰兩項之比逐漸趨近黃金比例的樣貌圖表。
第79項以後無法以一般數值準確表示，因此「查詢第n項」欄位使用多倍長整數，可計算至第100項而無誤差。另一方面，圖表因指數成長的性質，自第20項左右起長條高度便會極端化，故觀察收斂情形時請將項數設小一些。
斐波那契數列計算機的使用方法
- 決定顯示的項數 指定要在一覽與圖表中呈現的項數。若想觀察收斂情形，15～20 左右較易閱讀。
- 查詢第n項 輸入想知道的項次，即會顯示該項的值。可求得至第100項的準確整數。
- 確認相鄰比的收斂 查看 F(n+1)/F(n) 的欄位，即可以數值追蹤隨項次推進而趨近黃金比例約 1.618 的樣貌。
用好本工具的小技巧
- 斐波那契數列由遞推公式 F(n) = F(n−1) + F(n−2) 定義，初始值為 F(1) = F(2) = 1。
- 相鄰項之比 F(n+1)/F(n) 隨 n 增大而收斂至黃金比例 φ ≈ 1.618。可在收斂表中觀察這一過程。
- 當 n > 78 時，JavaScript 的 64 位浮點數無法精確表示斐波那契數。「查詢第 n 項」輸入框使用 BigInt 可精確計算至 n = 100。
- 斐波那契數廣泛出現於自然界：向日葵種子的螺旋排列、松果的鱗片以及鸚鵡螺的截面均遵循斐波那契規律（葉序現象）。
斐波那契數列的實用場景
用於數學作業或驗算
可與手算的第n項相互核對。即使是位數很大的項也能得到準確整數，中途不會摻入誤差。
確認與黃金比例的關係
可以數值追蹤相鄰比趨近 1.618 的過程。有助於將「會收斂」這個說明轉為切身的理解。
準備程式的期望值
在測試遞迴或動態規劃的實作時，可在此確認可作為正解使用的數值。
作為估算的參考尺度
軟體開發中有時會以接近此數列的數值來估算工作量。可用於確認各級距之間的間隔。
斐波那契數列的術語
- 遞迴式
- 指使用前項來決定下一項的式子。在斐波那契數列中即為 F(n) = F(n−1) + F(n−2)。
- 黃金比例
- 指以 (1 + √5) / 2 表示的約 1.618 之比。斐波那契數列的相鄰比會收斂至此值。
- 盧卡斯數列
- 指採用相同遞迴式而僅初始值不同的數列。依序為 1, 3, 4, 7, 11，趨近黃金比例的速度相同。
- 比內公式
- 指不經遞迴式、而以黃金比例直接求出第n項的式子。無須逐項推進即可得到數值。
- 多倍長整數
- 指不受位數限制處理整數的機制。為了無誤差地計算第79項以後而採用。
- 葉序
- 指植物葉片或種子排列方式的規則。已知向日葵種子的螺旋等處會出現斐波那契數。
常見問題
閒話 ― 斐波那契與黃金比例
這個數列雖然以斐波那契命名，但它的歷史其實比他本人還要古老。它在歐洲被廣泛認識，要歸功於比薩的列奧納多——後人稱他為斐波那契——他在 1202 年出版的著作《算盤書》（Liber Abaci）中，用一個理想化的兔子繁殖問題引入了這個數列，這套數列也正因此逐漸傳入了歐洲的數學傳統。有趣的是，早在這之前很久，印度數學家 Pingala 在研究詩歌韻律（音節長短的排列組合）時，就已經推匯出了本質相同的數列——只是兩者相隔久遠，彼此並不知曉對方的發現。
斐波那契數列真正迷人之處，或許在於它與黃金比例 φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618 之間若即若離的關係。隨著 n 增大，相鄰兩項之比 F(n+1)/F(n) 會越來越逼近 φ，這並非巧合，而是源於 φ 本身滿足 φ² = φ + 1 這一代數性質——這恰好就是斐波那契遞推關係在極限情形下自然匯出的結果。
這種收斂關係還催生了一個優雅的解析工具——比內公式：F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5，其中 ψ = (1 − √5) / 2 ≈ −0.618。它的巧妙之處在於，斐波那契數列本來是靠遞推逐項累加定義的，而這個公式卻能讓我們跳過所有中間步驟，直接由 n 算出任意一項的值。只不過當 n 較大時，浮點數的精度誤差會讓這個公式失去準確性，這也是為什麼本工具在計算大項時改用 BigInt 進行整數迭代，而不是直接套用比內公式。