Calcolatore di Fibonacci — n-esimo Termine Istantaneo e Grafico della Sezione Aurea

Calcola all'istante qualsiasi termine della successione di Fibonacci, esatto fino a F(100) grazie al tipo BigInt. Osserva il rapporto fra termini consecutivi convergere alla sezione aurea φ, esplora la successione di Lucas e un grafico a barre dei primi N termini.

Che cos'è la successione di Fibonacci?

La successione di Fibonacci costruisce ciascun termine sommando i due precedenti. Procede 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 e come formula si scrive F(n) = F(n−1) + F(n−2). Questo strumento elenca i termini fino al numero indicato, fornisce il valore esatto dell'n-esimo termine e rappresenta in un grafico come il rapporto tra termini vicini si avvicini alla sezione aurea.

Dal 79° termine in poi i numeri ordinari non riescono più a rappresentare i valori in modo esatto, perciò il campo « cerca l'n-esimo termine » usa l'aritmetica a precisione arbitraria per calcolare senza errori fino al 100° termine. Il grafico, invece, cresce per sua natura in modo esponenziale: dal 20° termine circa le barre diventano estreme, quindi mantenete basso il numero di termini quando volete osservare la convergenza.

Come si usa il calcolatore di Fibonacci

Decidete quanti termini mostrare Indicate quanti termini compaiono nell'elenco e nel grafico. Per osservare la convergenza, intorno a 15–20 si legge meglio.
Cercate l'n-esimo termine Inserite il numero del termine che vi interessa e ne compare il valore. Interi esatti sono disponibili fino al 100° termine.
Verificate la convergenza del rapporto Percorrete la colonna F(n+1)/F(n) e potrete seguire numericamente come si avvicini alla sezione aurea, circa 1,618, al procedere dei termini.

Consigli per sfruttarlo al meglio

La successione di Fibonacci è definita come somma dei due termini precedenti: F(n) = F(n−1) + F(n−2), con i primi due termini pari a uno.
Il rapporto fra due termini contigui converge, al crescere di n, alla sezione aurea, circa 1,618: la tabella a destra mostra il fenomeno.
Dal settantanovesimo termine in poi il valore non è rappresentabile esattamente con i numeri in virgola mobile a 64 bit di JavaScript: il campo di ricerca dell'ennesimo termine usa perciò il tipo BigInt e calcola con esattezza fino al centesimo.
I numeri di Fibonacci compaiono spesso in natura: nelle spirali dei semi di girasole, nelle squame delle pigne, nella sezione del nautilo e nella disposizione delle foglie sul fusto.

Quando la successione di Fibonacci torna utile

Compiti di matematica e verifica dei calcoli

Confrontate con un n-esimo termine calcolato a mano. Vengono restituiti interi esatti anche per termini con molte cifre, così non si insinua alcun errore per strada.

Confermare il legame con la sezione aurea

Seguite numericamente l'avvicinarsi del rapporto tra vicini a 1,618. Aiuta a trasformare la parola « converge » in qualcosa che si vede davvero.

Preparare valori attesi per un programma

Nel testare un'implementazione ricorsiva o con programmazione dinamica, potete confermare qui i valori da usare come risposta corretta.

Come scala per le stime

I team di sviluppo usano talvolta valori vicini a questa successione per dimensionare il lavoro. Comodo per verificare la distanza tra i livelli.

I termini della successione di Fibonacci

Relazione di ricorrenza: Una formula che definisce il termine successivo a partire dai precedenti. Per la successione di Fibonacci è F(n) = F(n−1) + F(n−2).
Sezione aurea: Il rapporto di circa 1,618 espresso come (1 + √5) / 2. Il rapporto tra termini vicini di Fibonacci converge a questo valore.
Numeri di Lucas: Una successione con la stessa ricorrenza ma valori iniziali diversi. Procede 1, 3, 4, 7, 11 e converge alla sezione aurea con la stessa rapidità.
Formula di Binet: Una formula che trova l'n-esimo termine direttamente tramite la sezione aurea invece che con la ricorrenza. Fornisce il valore senza percorrere i termini uno a uno.
Intero a precisione arbitraria: Un meccanismo per trattare interi senza limiti sul numero di cifre. È ciò che consente di calcolare senza errori dal 79° termine in avanti.
Fillotassi: Le regole che governano la disposizione di foglie e semi in una pianta. È noto che i numeri di Fibonacci compaiono in schemi come le spirali dei semi di girasole.

Domande frequenti

Questo strumento adotta la definizione che comincia dall'indice uno, con i primi due termini pari a uno. Esiste anche la definizione che comincia dall'indice zero, con termine iniziale nullo: entrambe sono matematicamente corrette.

Segue la stessa relazione ricorsiva di quella di Fibonacci, ma parte da valori iniziali diversi, uno e tre, proseguendo con 1, 3, 4, 7, 11, 18 e così via. La velocità di convergenza alla sezione aurea è la stessa.

La successione cresce in modo esponenziale e già oltre il ventesimo termine le barre diventano altissime. Riducete il numero dei termini oppure servitevi del campo che mostra il valore dell'ennesimo termine.

A proposito — il rapporto inatteso fra Fibonacci e la sezione aurea

La successione si diffuse grazie a Leonardo Fibonacci, il matematico pisano che nel 1202 la presentò nel suo Liber abaci come modello della riproduzione dei conigli. Una successione analoga sarebbe però già stata trattata prima dell'era cristiana dal matematico indiano Pingala, nei suoi studi sui ritmi poetici.

La sezione aurea, pari a uno più radice di cinque diviso due, cioè circa 1,618, è nota come la proporzione più armoniosa e la si accosta spesso al Partenone e alle opere di Leonardo da Vinci. Sul piano matematico gode della proprietà per cui il suo quadrato è pari a essa stessa aumentata di uno, e in ciò sta la ragione della convergenza dei rapporti di Fibonacci, espressa dalla formula di Binet.

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