Mathematik

Quadratischer Funktionsgraph (y = ax² + bx + c)

Geben Sie die Koeffizienten a, b, c ein, um die Parabel y = ax² + bx + c zu zeichnen. Berechnet automatisch Scheitelpunkt, Symmetrieachse, Diskriminante und reelle Wurzeln.

Tipps

  • Der quadratische Koeffizient a bestimmt die Form der Parabel. Bei a > 0 öffnet sie sich nach oben, bei a < 0 nach unten. Je größer |a|, desto schmaler die Parabel.
  • Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist x = −b ÷ (2a). Der Scheitelpunkt ist der Tiefpunkt (a > 0) oder Hochpunkt (a < 0) und wird als blaues Raute-Symbol angezeigt.
  • Die Diskriminante D = b² − 4ac bestimmt die Anzahl reeller Wurzeln. D > 0: die Parabel schneidet die x-Achse an 2 Punkten (grüne Punkte); D = 0: Berührpunkt (Doppelwurzel); D < 0: kein Schnittpunkt.
  • Bewegen Sie den Mauszeiger über den Graphen, um die (x, y)-Koordinaten eines beliebigen Punktes zu sehen. Geben Sie links einen x-Wert ein, um den entsprechenden y-Wert zu berechnen.

Häufige Fragen

Wenn a = 0 ist, entfällt der quadratische Term und die Funktion wird zu y = bx + c (lineare Funktion oder Konstante). Dieses Tool ist für quadratische Funktionen konzipiert, daher ist a = 0 nicht zulässig. Zum Zeichnen von Geraden bitte das Tool „Linearer Funktionsgraph" verwenden.

Die Diskriminante D = b² − 4ac bestimmt die Anzahl reeller Lösungen von ax² + bx + c = 0. D > 0: zwei verschiedene reelle Wurzeln; D = 0: Doppelwurzel; D < 0: keine reellen Wurzeln (nur komplexe). Auf dem Graphen: D > 0 → Parabel schneidet x-Achse an 2 Punkten; D = 0 → Berührung; D < 0 → kein Schnittpunkt.

Durch quadratische Ergänzung von y = ax² + bx + c erhält man die Scheitelpunktform y = a(x − p)² + q mit p = −b/(2a) und q = c − b²/(4a). Dieses Tool akzeptiert die Normalform und berechnet und zeigt automatisch die Scheitelpunktkoordinaten (p, q) an.

Ja. Das Ändern von a, b und c aktualisiert den Graphen in Echtzeit, was das Verständnis erleichtert, wie jeder Koeffizient die Form der Parabel beeinflusst. Das Tool deckt die Themen quadratischer Funktionen des Schulmathematikunterrichts ab.

Übrigens – Die Herkunft des Wortes „Parabel"

Der Name „Parabel" wurde vom altgriechischen Mathematiker Apollonios von Perge (ca. 262–190 v. Chr.) beim Studium der Kegelschnitte geprägt. Das griechische Wort „παραβολή" (parabolé) bedeutet „nebeneinandergestellt" und bezieht sich auf die geometrische Eigenschaft, dass eine Parabel die Menge aller Punkte ist, die vom Brennpunkt und der Leitlinie gleich weit entfernt sind.

Eine der bekanntesten realen Erscheinungen der Parabel ist die Flugbahn eines Wurfkörpers unter Schwerkraft (ohne Luftwiderstand), die Galileo Galilei im 17. Jahrhundert experimentell entdeckte. Parabolspiegel werden in Taschenlampen und Autoscheinwerfern verwendet, um eine punktförmige Lichtquelle im Brennpunkt in ein Parallellichtbündel umzuwandeln.

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