Convertitore IEEE 754 — Decimale in Bit Floating Point (32/64 bit)

Converte in entrambe le direzioni tra numeri decimali e configurazioni di bit IEEE 754 (precisione singola a 32 bit o doppia a 64 bit). Segno, esponente e mantissa a colori distinti rendono immediati da individuare NaN, infiniti e numeri denormalizzati.

L'esempio classico: perché 0,1 più 0,2 non fa 0,3

Calcolando `0.1 + 0.2` in JavaScript si ottiene `0.30000000000000004`, che non coincide con `0.3`. Osservando la configurazione di bit in precisione doppia se ne comprende la ragione.

Valore	Esadecimale in precisione doppia (64 bit)	Binario in precisione doppia (64 bit)
0.1	0x3FB999999999999A	0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2	0x3FC999999999999A	0011111111001001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.3	0x3FD3333333333333	0011111111010011001100110011001100110011001100110011001100110011
0.1 + 0.2	0x3FD3333333333334	0011111111010011001100110011001100110011001100110011001100110100

In binario 0,1, 0,2 e 0,3 sono tutti numeri periodici infiniti: non entrano nei 52 bit finiti della mantissa e vengono arrotondati. Poiché gli errori di arrotondamento di 0,1 e 0,2 non si compensano, la loro somma risulta in una configurazione che differisce di un solo bit da quella che rappresenta esattamente 0,3, ossia 0x3FD3333333333334. Provate a inserire questi valori nello strumento qui sopra e a confrontare l'ultimo bit.

Che cos'è la norma IEEE 754? Vedere i numeri in virgola mobile come bit

Quando un computer memorizza un numero decimale, non conserva le cifre digitate: codifica il valore in un numero fisso di bit secondo la norma IEEE 754, suddivisi in segno, esponente e mantissa. Questo strumento mostra esattamente quali bit vengono memorizzati per qualunque valore inserito, sia in precisione singola (32 bit) sia in precisione doppia (64 bit), e funziona anche al contrario: incollando una configurazione esadecimale o binaria si scopre a quale valore decimale corrisponde.

Nella programmazione quotidiana raramente occorre pensare a questo livello, eppure è proprio da qui che nasce il motivo per cui `0.1 + 0.2` non fa `0.3`, per cui gli interi molto grandi perdono precisione una volta memorizzati come numeri in virgola mobile, e per cui NaN e infinito si comportano in un certo modo nei confronti. Vedere segno, esponente e mantissa scomposti per un valore reale trasforma queste regole astratte in qualcosa di concreto da osservare.

Come usare lo strumento

Scegliere verso e precisione Selezionate «Da decimale a configurazione di bit» oppure il verso opposto, quindi la precisione singola (32 bit) o doppia (64 bit).
Inserire un valore In ingresso decimale potete digitare un numero qualsiasi oppure «NaN»/«Infinity»/«-Infinity». In ingresso binario usate una stringa esadecimale con prefisso `0x` o una stringa binaria con il numero di cifre corrispondente alla precisione scelta.
Leggere la scomposizione di segno, esponente e mantissa La sequenza di bit a colori e una tabella di dettaglio mostrano l'esponente grezzo, l'esponente al netto della polarizzazione e la rappresentazione esadecimale completa.
Controllare l'etichetta di classificazione Il risultato viene classificato automaticamente come zero, denormalizzato, normalizzato, infinito o NaN, con una breve spiegazione del significato.
Provare le impostazioni predefinite e i casi limite Usate i pulsanti per 0,1/0,2/0,3, ±0, ±Infinity e NaN, oppure provate valori negativi e numeri estremamente grandi o piccoli per osservarne la codifica.

Consigli per sfruttarlo al meglio

Convertendo in bit 0,1, 0,2 e 0,3 in precisione doppia e confrontandoli con il risultato di 0,1 più 0,2, cioè 0.30000000000000004, si vede a colpo d'occhio che differiscono per un solo bit finale.
Inserendo «-0» nel campo decimale si ottiene una configurazione in cui è acceso soltanto il bit di segno, diversa da quella del più zero. Numericamente 0 e -0 sono uguali, ma la rappresentazione in bit è un'altra cosa.
Quando l'esponente è tutto a zero, una mantissa nulla indica lo zero e una mantissa non nulla un numero denormalizzato, cioè la rappresentazione particolare che, a scapito della precisione, esprime valori estremamente vicini allo zero.
Passando dalla precisione singola, a 32 bit, a quella doppia, a 64 bit, si osserva come per uno stesso valore 0,1 cambi l'entità dell'errore di arrotondamento, maggiore in precisione singola.
Nella conversione inversa a partire dai bit occorre indicare un numero esadecimale con il prefisso `0x` oppure un binario con tante cifre quante ne richiede la precisione scelta, con il prefisso `0b` facoltativo.

Quando può servire questo strumento

Corsi di informatica

I manuali descrivono la struttura della virgola mobile in astratto; qui la si può verificare su numeri reali mentre si studia o si prepara una relazione di laboratorio.

Individuare bug di precisione numerica

Capite perché un calcolo risulta leggermente sbagliato inserendo il valore sospetto e osservandone la configurazione di bit esatta, senza scrivere codice.

Programmazione embedded e a basso livello

Decodificate un valore in virgola mobile esadecimale visto in un dump di memoria o in un registro, riportandolo a un numero decimale leggibile.

Preparazione a colloqui tecnici

Esercitatevi a rispondere a domande come «che differenza c'è fra precisione singola e doppia a livello di bit» usando un esempio concreto invece di nozioni mandate a memoria.

Spiegare a qualcuno perché «0,1 + 0,2 ≠ 0,3»

Mostrate le configurazioni di bit reali una accanto all'altra invece di limitarvi ad affermare che la causa è l'arrotondamento in virgola mobile.

Glossario

IEEE 754: La norma internazionale che definisce come i computer rappresentano i numeri in virgola mobile. Pubblicata nel 1985, è seguita dal tipo float/double di quasi tutti i linguaggi di programmazione.
Bit di segno: Il singolo bit che indica se un valore è positivo (0) o negativo (1). È indipendente da esponente e mantissa, motivo per cui «più zero» e «meno zero» esistono come configurazioni distinte.
Esponente: I bit che codificano l'ordine di grandezza del valore: 8 bit in precisione singola, 11 in precisione doppia, memorizzati sommandovi una polarizzazione.
Mantissa (significando): I bit che codificano le cifre significative del valore: 23 bit in precisione singola, 52 in precisione doppia, normalmente interpretati con un uno implicito anteposto.
Polarizzazione (bias): Uno scostamento fisso (127 in precisione singola, 1023 in doppia) sommato all'esponente affinché possa essere memorizzato e confrontato come un semplice intero senza segno.
Numero denormalizzato (subnormale): Una configurazione con esponente tutto a zero e mantissa diversa da zero. Omettendo l'uno implicito, permette di rappresentare valori più vicini allo zero di un numero normalizzato, a scapito della precisione.
NaN (non è un numero): Una configurazione con esponente tutto a uno e mantissa diversa da zero, prodotta da operazioni indefinite come 0 diviso 0 oppure infinito meno infinito.
Infinito: Una configurazione con esponente tutto a uno e mantissa tutta a zero, che compare tipicamente quando un calcolo supera l'intervallo rappresentabile.

Domande frequenti

In binario 0,1, 0,2 e 0,3 sono tutti numeri periodici infiniti e l'elaboratore, per farli entrare in una mantissa finita — 52 bit in precisione doppia — li arrotonda. Poiché gli errori di arrotondamento di 0,1 e 0,2 non si compensano, la loro somma differisce lievemente dalla configurazione che rappresenta esattamente 0,3 e vale 0,30000000000000004. Non è il difetto di un linguaggio particolare, ma un fenomeno comune a tutti quelli conformi alla norma IEEE 754.

La precisione singola, float su 32 bit, si compone di un bit di segno, otto di esponente e ventitré di mantissa; quella doppia, double su 64 bit, di un bit di segno, undici di esponente e cinquantadue di mantissa. Più bit ha la mantissa, maggiore è il numero di cifre significative, cioè la precisione; più ne ha l'esponente, più ampio è l'intervallo dei valori rappresentabili. Nei linguaggi di programmazione il tipo in virgola mobile predefinito è spesso quello a precisione doppia.

Sono le configurazioni con esponente tutto a zero e mantissa diversa da zero. Ai numeri normalizzati si antepone alla mantissa un uno implicito; i denormalizzati vi rinunciano e fissano l'esponente al minimo, riuscendo così a rappresentare valori ancora più vicini allo zero del più piccolo normalmente esprimibile, ma sacrificando le cifre significative.

Nella norma IEEE 754 il bit di segno esiste indipendentemente: anche con esponente e mantissa tutti a zero si hanno perciò due configurazioni distinte, il «più zero» con il bit di segno a zero e il «meno zero» con il bit a uno. Nel confronto numerico 0 e -0 risultano uguali, ma nei calcoli emergono differenze: uno diviso zero dà più infinito, uno diviso meno zero dà meno infinito.

Entrambi hanno l'esponente tutto a uno. Se la mantissa è tutta a zero si tratta dell'infinito, con il bit di segno a distinguere più infinito e meno infinito; se la mantissa è diversa da zero si tratta di NaN, cioè di un valore che non è un numero. Si generano come esito di operazioni matematicamente indefinite, come la divisione per zero o infinito meno infinito.

A proposito — come nacque la «lingua comune» chiamata IEEE 754

Prima del 1985 ciascun costruttore adottava una propria rappresentazione dei numeri in virgola mobile. Fra IBM, DEC e Cray, calcolando lo stesso valore 0,1 si ottenevano arrotondamenti e intervalli rappresentabili leggermente diversi, e portare un programma da una macchina all'altra faceva puntualmente divergere i risultati numerici. Per porre fine alla confusione, un gruppo guidato da William Kahan dell'Università della California a Berkeley, che aveva collaborato anche alla progettazione del coprocessore matematico Intel 8087, definì nel 1985 la norma IEEE 754 come standard trasversale al settore.

L'idea centrale della norma sta nel ripartire i compiti fra tre parti — segno, esponente e mantissa — per approssimare con un numero finito di bit, 32 o 64, l'infinità dei numeri reali. L'esponente si occupa dell'ordine di grandezza, la mantissa della precisione delle cifre significative: così, con pochi bit, si trattano con duttilità numeri piccolissimi e grandissimi. Il fatto che l'esponente sia memorizzato sommandovi una polarizzazione — 127 in precisione singola e 1023 in quella doppia — è un accorgimento che permette di stabilire quale numero sia il maggiore confrontando semplicemente le sequenze di bit, senza le complicazioni del complemento a due degli interi con segno.

In binario si rappresentano «esattamente» soltanto le frazioni il cui denominatore è una potenza di due: un mezzo, un quarto, tre ottavi. Il valore decimale 0,1 corrisponde alla frazione un decimo, ma dieci non è una potenza di due e in binario diventa il numero periodico infinito 0,0001100110011… Per farlo entrare in una mantissa finita non resta che troncarlo e arrotondarlo: è questa la ragione di fondo per cui 0,1 non è rappresentabile con esattezza. Ed è per lo stesso motivo che i sistemi contabili, che devono trattare esattamente il decimale, ricorrono all'aritmetica intera o a tipi decimali appositi anziché alla virgola mobile.

La norma è stata poi rivista nel 2008 e nel 2019, con l'aggiunta della mezza precisione a 16 bit, della quadrupla a 128 bit e delle disposizioni sui numeri decimali in virgola mobile, ma la struttura fondamentale in tre parti e l'impostazione delle modalità di arrotondamento sono rimaste quelle della prima edizione del 1985. Poiché i tipi float e double di quasi tutti i linguaggi di programmazione vi si conformano, la domanda «perché 0,1 più 0,2 non fa 0,3» descrive un fenomeno comune a ogni linguaggio.

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