計算
三次関数グラフ（y = ax³ + bx² + cx + d）
係数 a〜d を入力して y = ax³ + bx² + cx + d のグラフを描画。変曲点・極大・極小を自動計算し、グラフ上のマウスオーバーで座標を確認できます。
Tips
- 三次の係数 a がグラフの大まかな向きを決めます。a > 0 なら左下から右上へ、a < 0 なら左上から右下へ延びる曲線になります。
- 変曲点はグラフの曲がり方（凹凸）が切り替わる点です。x 座標は x = −b ÷ (3a) で求められます。グラフ上にオレンジのひし形で表示されます。
- 極大・極小（極値）は、微分 dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0 を解いて求められます。極大は緑の点、極小は紫の点で表示されます。判別式 (2b)² − 4(3a)c < 0 の場合は極値なし（単調）になります。
- デフォルトは y = x³ − 3x（a=1, b=0, c=-3, d=0）で、極大 (−1, 2) と極小 (1, −2) を持つ典型的な三次関数の例です。
よくある質問
変曲点とは、グラフの凹凸（曲がり方）が切り替わる点です。三次関数 y = ax³ + bx² + cx + d では、二階微分 d²y/dx² = 6ax + 2b = 0 を解くと x = −b ÷ (3a) が得られます。変曲点ではグラフが「右下に曲がる」から「右上に曲がる」（または逆）へと切り替わります。
極大は周囲より y が大きくなる局所的な山、極小は周囲より y が小さくなる局所的な谷です。一階微分 dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0 を解き、その点での二階微分の符号で判定します（d²y/dx² < 0 → 極大、> 0 → 極小）。判別式が 0 以下の場合は極値が存在せず、単調増加または単調減少になります。
はい。三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 は必ず少なくとも 1 つの実数解を持ちます（複素数係数の場合を除く）。これは中間値の定理により、x → +∞ と x → −∞ で y の符号が逆になる（a > 0 なら正・負）ため、必ずゼロを通過することから保証されます。
グラフの向きが反転します。a > 0 では左下から右上へ延びますが、a < 0 では左上から右下へ延びます。極大と極小の位置は変わりませんが、x 座標が同じとき、a < 0 では a > 0 のときの y 値が符号反転した値になります。
余談ですが ― 三次方程式を解いた数学者たちの確執
三次方程式の一般解（カルダノの公式）をめぐって、16 世紀イタリアの数学者たちは熾烈な争いを繰り広げました。ニコロ・タルタリアが三次方程式の解法を秘密裏に発見し、ジェロラモ・カルダノに「公表しない」という約束のもとで伝えました。しかし 1545 年にカルダノは著書『アルス・マグナ（大いなる術）』でこの解法を発表。タルタリアはカルダノを盗作者として非難し、激しい論争に発展しました。
興味深いのは、三次方程式の解の公式が「虚数」概念の発明を促したことです。実数の解しか持たない三次方程式でも、カルダノの公式の途中計算に √(−1) のような項が現れることがあります。ラファエル・ボンベッリはこれを「虚数」として形式的に扱うことで正しい実数解が得られることを示し、複素数論の萌芽となりました。