Calculadora da Função Totiente de Euler (φ, Coprimos)

Insira um número inteiro N (1 a 1.000.000) para calcular instantaneamente quantos inteiros entre 1 e N são coprimos com N (função totiente de Euler φ(N)), mostrando não só o resultado, mas a fatoração em números primos e a fórmula usada. Inclui gratuitamente uma tabela de referência de φ(n) de 1 a 100.

Última atualização: 2026-09-06

Tabela de referência de φ(n) de 1 a 100

Uma tabela que resume a fatoração em primos e o valor da função totiente de Euler para cada inteiro de 1 a 100.

N	Fatoração	φ(n)
1	1	1
2	2	1
3	3	2
4	2²	2
5	5	4
6	2 × 3	2
7	7	6
8	2³	4
9	3²	6
10	2 × 5	4
11	11	10
12	2² × 3	4
13	13	12
14	2 × 7	6
15	3 × 5	8
16	2⁴	8
17	17	16
18	2 × 3²	6
19	19	18
20	2² × 5	8
21	3 × 7	12
22	2 × 11	10
23	23	22
24	2³ × 3	8
25	5²	20
26	2 × 13	12
27	3³	18
28	2² × 7	12
29	29	28
30	2 × 3 × 5	8
31	31	30
32	2⁵	16
33	3 × 11	20
34	2 × 17	16
35	5 × 7	24
36	2² × 3²	12
37	37	36
38	2 × 19	18
39	3 × 13	24
40	2³ × 5	16
41	41	40
42	2 × 3 × 7	12
43	43	42
44	2² × 11	20
45	3² × 5	24
46	2 × 23	22
47	47	46
48	2⁴ × 3	16
49	7²	42
50	2 × 5²	20
51	3 × 17	32
52	2² × 13	24
53	53	52
54	2 × 3³	18
55	5 × 11	40
56	2³ × 7	24
57	3 × 19	36
58	2 × 29	28
59	59	58
60	2² × 3 × 5	16
61	61	60
62	2 × 31	30
63	3² × 7	36
64	2⁶	32
65	5 × 13	48
66	2 × 3 × 11	20
67	67	66
68	2² × 17	32
69	3 × 23	44
70	2 × 5 × 7	24
71	71	70
72	2³ × 3²	24
73	73	72
74	2 × 37	36
75	3 × 5²	40
76	2² × 19	36
77	7 × 11	60
78	2 × 3 × 13	24
79	79	78
80	2⁴ × 5	32
81	3⁴	54
82	2 × 41	40
83	83	82
84	2² × 3 × 7	24
85	5 × 17	64
86	2 × 43	42
87	3 × 29	56
88	2³ × 11	40
89	89	88
90	2 × 3² × 5	24
91	7 × 13	72
92	2² × 23	44
93	3 × 31	60
94	2 × 47	46
95	5 × 19	72
96	2⁵ × 3	32
97	97	96
98	2 × 7²	42
99	3² × 11	60
100	2² × 5²	40

O que é a função φ de Euler

A função φ de Euler conta quantos dos inteiros de 1 a n são coprimos com n. Coprimos quer dizer que o seu máximo divisor comum é 1, isto é, que não partilham nenhum fator primo. Assim, φ(9) vale 6, porque 1, 2, 4, 5, 7 e 8 não partilham fator primo algum com 9.

Esta ferramenta obtém φ(N) do inteiro que você escrever e mostra, além da resposta, **a decomposição em fatores primos de N e a fórmula que leva dela a φ(N)**. A fórmula é φ(n) = n × Π(1 − 1/p), tomado o produto sobre os fatores primos distintos p de n. Por muitas vezes que um primo se repita, entra no produto uma só vez: o expoente não altera o resultado. Admite-se qualquer valor de 1 a 1.000.000, e mais abaixo figura uma tabela de φ(n) de 1 a 100.

Como usar a calculadora

Escreva o inteiro N Dê um número inteiro de 1 a 1.000.000. Qualquer valor fora desse intervalo, ou que não seja inteiro, provoca um aviso.
Leia o valor de φ(N) Conforme você digita aparece o número de inteiros de 1 a N que são coprimos com N.
Confira a decomposição Mostra-se em que primos N se decompõe: um fio de que puxar se quiser ver de onde sai o valor de φ(N).
Siga a dedução pela fórmula A fórmula φ(n) = n × Π(1 − 1/p) aparece com os fatores primos reais já substituídos, pronta para conferir um cálculo feito à mão.
Compare com a tabela Abaixo há uma lista de φ(n) de 1 a 100, na qual se percebem regularidades a olho nu, como o fato de φ de um primo ser esse primo menos um.

Dicas para aproveitar melhor

A função totiente de Euler φ(n) conta os inteiros entre 1 e n que são coprimos com n. Por exemplo, φ(9) = 6 (1, 2, 4, 5, 7 e 8 são coprimos com 9).
Quando n é um número primo p, φ(p) = p − 1, pois todos os números de 1 a p, exceto o próprio p, são coprimos com um primo.
Quando n é o produto de dois primos distintos p e q, φ(pq) = (p−1)(q−1) — propriedade usada diretamente na geração de chaves RSA.
A fórmula φ(n) = n × Π(1 − 1/p) é um produto sobre os fatores primos distintos p de n; o expoente de cada primo não afeta o resultado.
Esta ferramenta cobre o intervalo de 1 a 1.000.000 e calcula φ(n) instantaneamente por fatoração via divisão de teste.

Onde a função φ de Euler ajuda

Estudar teoria dos números e corrigir deveres

Confirme se o φ(n) que você achou à mão está certo. Como se mostram ao lado a decomposição e a fórmula, dá para detectar um erro na dedução e não só no resultado.

Entender como funciona o RSA

O RSA usa o produto n = pq de dois primos como parte da chave pública, e construir a chave privada exige φ(n) = (p−1)(q−1). Fazê-lo com primos pequenos torna concreta essa relação.

Conferir o teorema de Euler

O teorema de Euler diz que, para a coprimo com n, a elevado a φ(n) deixa resto 1 ao ser dividido por n. Ache antes φ(n) e poderá ensaiar o teorema com números pequenos.

Observar a propriedade multiplicativa

Quando m e n são coprimos, φ(mn) = φ(m)φ(n). Combinando valores da tabela vê-se que isso se cumpre de fato.

Quando o que você busca é a decomposição

Se só precisa dos fatores, use a decomposição em fatores primos; para saber se um número é primo, o teste de primalidade.

Termos sobre a função φ

Função φ de Euler: A função que devolve quantos inteiros de 1 a n são coprimos com n. Escreve-se φ(n) e foi introduzida por Leonhard Euler no século XVIII.
Coprimos: Estado de dois inteiros cujo máximo divisor comum é 1, o que equivale a não partilharem fator primo algum.
Decomposição em fatores primos: Escrever um inteiro como produto de primos. Como φ(n) fica determinado só pelos fatores primos distintos de n, o cálculo arranca nessa decomposição.
Função multiplicativa: Função para a qual f(mn) = f(m)f(n) sempre que m e n sejam coprimos. φ tem essa propriedade, e por isso o valor de um número grande pode ser composto a partir dos seus fatores primos.
Teorema de Euler: O teorema segundo o qual, para todo a coprimo com n, a elevado a φ(n) deixa sempre resto 1 ao ser dividido por n. Restrito a um módulo primo, é o pequeno teorema de Fermat.
RSA: Cifra de chave pública que emprega o produto de dois primos grandes como chave pública. A chave privada precisa de φ(n), e o fato de φ(n) não se obter sem decompor n é um dos fundamentos da sua segurança.

Perguntas frequentes

Além de fundamental na teoria dos números, é central na criptografia, especialmente na geração de chaves RSA. A chave privada do RSA é obtida usando φ(n) = (p−1)(q−1).

Por convenção, define-se φ(1) = 1. Embora o único inteiro até 1 seja o próprio 1, definir φ(1) = 1 mantém consistentes as propriedades multiplicativas da função, sendo essa a convenção matemática padrão.

Sim. Como um primo p não tem divisores além de 1 e ele mesmo, todos os inteiros de 1 a p, exceto p, são coprimos com ele, portanto φ(p) = p − 1.

O RSA usa um número composto n = pq, produto de dois primos grandes, como parte da chave pública. Calcular a chave privada exige φ(n) = (p−1)(q−1), mas φ(n) não pode ser encontrado sem fatorar n — essa dificuldade de fatorar números grandes é a base da segurança do RSA.

Curiosidade — A função do século 18 que conta o que é coprimo

A função totiente de Euler foi introduzida por volta de 1763 pelo matemático suíço Leonhard Euler, originalmente ao generalizar o pequeno teorema de Fermat para números compostos. O símbolo φ (fi), hoje padrão, foi adotado mais tarde por outros matemáticos que sistematizaram a notação.

Contar números coprimos pode parecer simples, mas φ(n) tem várias propriedades elegantes. Por exemplo, somando φ(d) para cada divisor d de n, o resultado é sempre n (Σφ(d) = n) — uma das identidades fundamentais da teoria elementar dos números.

Hoje, φ(n) desempenha um papel essencial na criptografia RSA. O RSA usa o produto de dois primos grandes n = pq como parte da chave pública, e calcular a chave privada exige φ(n) = (p−1)(q−1). O fato de que φ(n) não pode ser calculado sem fatorar n (pelo menos com os algoritmos conhecidos atualmente) é um dos pilares da segurança do RSA.

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