Calculadora do teorema chinês do resto (TCR) — Resolva congruências simultâneas

Resolva um sistema de congruências simultâneas x ≡ a₁ (mod n₁), x ≡ a₂ (mod n₂)... com o teorema chinês do resto. Verifica automaticamente se os módulos são coprimos entre si e devolve a menor solução não negativa e a solução geral.

Última atualização: 2026-09-07

Exemplo resolvido: o problema do "número desconhecido" do Sunzi Suanjing

Um problema clássico do Sunzi Suanjing (o "Clássico matemático de Sun Tzu"), um texto aritmético chinês datado de aproximadamente os séculos III a V, frequentemente citado como a origem do teorema chinês do resto. A pergunta "qual número deixa resto 2 ao ser dividido por 3, resto 3 ao ser dividido por 5 e resto 2 ao ser dividido por 7?" tem como resposta 23, módulo 105.

Condição 1	x ≡ 2 (mod 3)
Condição 2	x ≡ 3 (mod 5)
Condição 3	x ≡ 2 (mod 7)
Solução	x ≡ 23 (mod 105)

O que é o teorema chinês do resto

O teorema chinês do resto resolve sistemas de congruências do tipo **«que número deixa 2 ao dividi-lo por 3, 3 por 5 e 2 por 7?»**. Se os módulos forem todos coprimos, existe exatamente uma solução dentro do intervalo que o seu produto fixa. Esta ferramenta toma até cinco congruências e devolve a menor solução não negativa junto com a geral.

**Só se atende a forma clássica: aquela em que todos os módulos são coprimos.** Se dois deles partilharem um divisor maior que um, o sistema não se resolve por esta via e uma mensagem o adverte; o teorema generalizado para módulos não coprimos fica fora do alcance. **Os módulos há de ser inteiros de 2 ou mais**, e os restos normalizam-se por si ao intervalo de zero até menos do que o seu módulo, de modo que se admitem valores iguais ou superiores ao módulo, e também negativos. A aritmética corre sobre inteiros de precisão arbitrária, portanto não há limite de dígitos.

Como usar a calculadora

Informe o resto e o módulo Para cada congruência, dê o resto a e o módulo n. Representam x ≡ a (mod n).
Acrescente mais congruências Use «acrescentar congruência» para alinhar até cinco. Quantas mais houver, mais amplo o intervalo — o produto dos módulos — em que a solução segue sendo única.
Resolva Prima resolver e obtém a menor solução não negativa junto com a solução geral módulo o produto dos módulos.
Siga o desenvolvimento Para cada congruência listam-se Nᵢ (o produto dos módulos retirado o próprio) e Mᵢ (o inverso de Nᵢ). Servem para contrastar uma solução feita à mão.
Exigem-se módulos coprimos Uma mensagem que diga que os módulos não são coprimos significa que dois partilham um divisor — 4 e 6, por exemplo. Reveja a combinação.

Dicas para aproveitar melhor

Se os módulos (nᵢ) não forem coprimos entre si, você receberá um erro — por exemplo, mod 4 e mod 6 compartilham o fator 2, então esta calculadora não consegue resolver esse sistema (seria necessário o TCR generalizado).
Não é preciso reduzir o resto aᵢ você mesmo: mesmo que seja negativo ou maior que nᵢ, a calculadora o normaliza internamente para mod nᵢ antes de resolver.
Você pode adicionar de 2 a 5 congruências. Isso é útil para quebra-cabeças que exigem que um número satisfaça três ou mais condições periódicas ao mesmo tempo, como o clássico enigma de "adivinhar o número de soldados".
A solução geral é exibida como x ≡ resultado (mod N): somar qualquer múltiplo de N ao resultado ainda satisfaz todas as congruências originais.

Onde o teorema ajuda

Exercícios de teoria dos números e preparação de exames

Serve para contrastar uma resposta feita à mão. Como também aparecem Nᵢ e Mᵢ, pode delimitar onde se meteu o lapso.

Estudar algoritmos criptográficos

A otimização CRT que acelera a decifragem RSA aplica este teorema diretamente. Pode seguir o mecanismo em números.

Achar quando coincidem ciclos

Os instantes em que sucessos de períodos distintos caem juntos podem escrever-se como um sistema de congruências.

Reproduzir o problema clássico

O «número desconhecido» do Sunzi Suanjing — que deixa 2 ao dividir por 3, 3 por 5 e 2 por 7 — é 23 módulo 105. Informe-o tal e qual e verifique.

Quando quiser as ferramentas afins de teoria dos números

Para inversos e congruências em si, veja aritmética modular; para máximos divisores comuns, MDC e MMC; para a fatoração, fatoração em primos.

Termos sobre o teorema chinês do resto

Teorema chinês do resto: O teorema que afirma que um sistema de congruências com módulos coprimos tem solução única módulo o seu produto.
Congruência: Uma expressão da forma x ≡ a (mod n), que diz que o resto de x ao dividi-lo por n é igual a a.
Módulo: O número pelo qual se divide. Aqui limita-se a inteiros de 2 ou mais.
Coprimos: Dois inteiros cujo máximo divisor comum é 1. O teorema clássico exige que dois quaisquer dos módulos sejam coprimos.
Coprimos dois a dois: De três ou mais números: que dois quaisquer tomados deles sejam coprimos. Um conjunto pode ter máximo divisor comum 1 sem ser coprimo dois a dois.
Inverso modular: O x que satisfaz a·x ≡ 1 (mod n). No teorema aparece ao achar Mᵢ, o inverso de Nᵢ.
Algoritmo de Euclides estendido: O algoritmo que rende os coeficientes de Bézout junto com o máximo divisor comum. É o que calcula um inverso modular.
Solução geral: A menor solução não negativa junto com todo múltiplo inteiro do produto dos módulos somado a ela, escrita na forma x ≡ 23 (mod 105).

Perguntas frequentes

Ele aparece em muitas áreas: criptografia (acelerando a descriptografia RSA via CRT-RSA), códigos de correção de erros em computação, cálculos de calendário e os antigos enigmas chineses de adivinhar números que deram nome ao teorema. De modo geral, ele permite encontrar um valor que satisfaça várias condições periódicas ao mesmo tempo.

Esta ferramenta exibe uma mensagem de erro e não realiza o cálculo. Ainda pode existir uma solução quando os módulos compartilham fatores comuns (por exemplo, mod 4 e mod 6), mas encontrá-la exige um algoritmo diferente, o teorema chinês do resto generalizado. Esta ferramenta suporta apenas a versão clássica (com módulos coprimos).

Você pode adicionar de 2 a 5 congruências. Em teoria, qualquer quantidade pode ser resolvida desde que os módulos sejam coprimos entre si, mas essa faixa cobre a grande maioria dos casos de uso práticos.

Isso não é tratado como erro — a calculadora o normaliza automaticamente para a mod n internamente antes de resolver. Por exemplo, inserir x ≡ 8 (mod 3) é tratado da mesma forma que x ≡ 2 (mod 3).

Curiosidade — De um texto aritmético do século III à aceleração da criptografia RSA

O teorema chinês do resto remonta a um problema do Sunzi Suanjing, um clássico aritmético chinês que se acredita datar de aproximadamente os séculos III a V d.C. Seu famoso enigma do "número desconhecido" — encontrar um número que deixe restos 2, 3 e 2 ao ser dividido por 3, 5 e 7, respectivamente — já capturava a ideia essencial por trás do teorema moderno: reconstruir um número desconhecido a partir de vários restos de divisão.

Uma das aplicações práticas mais importantes do teorema chinês do resto hoje é acelerar a descriptografia RSA. A descriptografia RSA exige elevar um número grande a uma potência módulo um composto n = p × q, onde p e q são primos grandes. Em vez de trabalhar diretamente módulo n, o TCR permite realizar o cálculo de forma independente módulo p e módulo q e depois recombinar os resultados — uma técnica conhecida como CRT-RSA que, em teoria, pode acelerar a descriptografia em quase quatro vezes, e que está implementada em muitas bibliotecas criptográficas.

Esta ferramenta suporta a forma clássica do teorema, que exige que todos os módulos sejam coprimos entre si. Quando os módulos compartilham fatores comuns (por exemplo, mod 4 e mod 6), às vezes ainda existe uma solução, mas determiná-la e calculá-la exige o teorema chinês do resto generalizado, que está fora do escopo desta ferramenta.

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