Calculadora de progressão geométrica (aₙ = a₁·rⁿ⁻¹)
Insira o primeiro termo a₁ e a razão r para calcular o termo geral, as somas parciais e a soma infinita (quando |r| < 1). Inclui tabela de termos e gráfico de barras.
O que é uma progressão geométrica
Uma progressão geométrica é uma sequência de números em que a razão entre dois termos consecutivos quaisquer permanece sempre a mesma. Essa razão constante é chamada de razão r e, junto com o primeiro termo a₁, determina completamente toda a sequência. Por exemplo, com a₁ = 2 e r = 3, a progressão fica 2, 6, 18, 54, … cada termo é simplesmente o triplo do anterior.
Esta calculadora precisa apenas do primeiro termo e da razão para obter o termo geral aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ e a soma parcial Sₙ para quantos termos você quiser, exibidos em uma tabela e em um gráfico de barras. Quando |r| < 1, ela também calcula a série geométrica infinita S∞ para a qual a soma acumulada converge à medida que mais termos são adicionados. É uma forma rápida de conferir valores que, calculados à mão, logo se tornam difíceis de manejar.
Como usar a calculadora de progressão geométrica
- Insira o primeiro termo a₁ Digite o valor inicial da sequência. Números positivos, negativos e decimais são todos aceitos.
- Insira a razão r Digite a razão entre termos consecutivos. r > 1 produz crescimento, 0 < r < 1 produz decrescimento e r < 0 produz uma sequência oscilatória.
- Escolha quantos termos exibir Defina o número de termos mostrados na tabela e no gráfico. Com quantidades muito grandes, valores excessivamente grandes podem ser ocultados.
- Consulte aₙ e Sₙ na tabela Para cada n, a tabela mostra o termo n aₙ junto com a soma parcial acumulada Sₙ, permitindo acompanhar o cálculo passo a passo.
- Observe o gráfico e a soma infinita O gráfico de barras mostra rapidamente o padrão de crescimento ou decrescimento e, quando |r| < 1, também exibe o valor para o qual a série geométrica infinita S∞ converge.
Dicas para aproveitar melhor
- Quando r > 1 a progressão cresce rapidamente. Quando 0 < r < 1 tende a 0. Quando r < 0 os termos alternam de sinal (progressão oscilatória).
- Quando |r| < 1, a soma infinita converge para S∞ = a₁ / (1 − r). Por exemplo, com a₁ = 1 e r = 1/2, S∞ = 2.
- O termo geral é aₙ = a₁ · r^(n−1) e a soma parcial é Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r) (quando r ≠ 1).
- O gráfico de barras mostra cada termo. Para valores grandes de r as barras crescem muito rapidamente, então valores de r entre 1,1 e 1,5 facilitam visualizar o padrão de crescimento.
Quando esta calculadora é útil
Conferir exercícios e tarefas
Insira os mesmos valores de a₁, r e n calculados à mão para verificar o termo geral ou a soma parcial. Erros costumam ficar evidentes quando os números crescem bastante.
Entender o crescimento dos juros compostos
Um capital que cresce a uma taxa de juros fixa segue exatamente a mesma estrutura de uma progressão geométrica com r > 1. Combine esta ferramenta com uma calculadora de juros compostos para obter os valores exatos.
Entender decrescimentos do tipo meia-vida
Fenômenos como a desintegração de uma substância radioativa ou o desbotamento de uma tinta, em que uma fração fixa é perdida a cada etapa, podem ser aproximados por uma progressão geométrica com 0 < r < 1.
Ganhar intuição sobre complexidade de algoritmos
Quando um processo recursivo dobra ou triplica sua carga de trabalho a cada etapa, esta ferramenta ajuda a visualizar numericamente a rapidez do crescimento geométrico.
Uma primeira ideia aproximada de empréstimos ou poupanças
Antes de um cálculo detalhado de juros, esta é uma forma rápida de ter uma noção de quão depressa uma determinada razão eleva um valor ao longo de muitas etapas.
Glossário
- Primeiro termo
- O valor inicial da sequência, escrito a₁. Junto com a razão, determina de forma única toda a sequência.
- Razão
- A razão constante entre dois termos consecutivos quaisquer, escrita r. Vale aₙ₊₁ = aₙ × r para todos os termos da sequência.
- Termo geral
- Uma fórmula que dá o termo n da sequência diretamente em função de n. Numa progressão geométrica, é aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹.
- Soma parcial
- A soma dos primeiros n termos da sequência, escrita Sₙ. Calcula-se como Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r) sempre que r ≠ 1.
- Série geométrica infinita
- A soma obtida ao somar todos os termos de uma progressão geométrica indefinidamente. Converge para um valor finito S∞ = a₁ / (1 − r) apenas quando |r| < 1.
- Convergência
- A propriedade pela qual uma soma ou sequência de valores se aproxima cada vez mais de um único valor fixo à medida que mais termos são adicionados. Uma série geométrica converge precisamente quando |r| < 1.
- Divergência
- O oposto da convergência: a soma continua crescendo sem limite ou oscila indefinidamente, em vez de se estabilizar em um valor fixo. Uma série geométrica diverge sempre que |r| ≥ 1.
Perguntas frequentes
Curiosidade — Crescimento geométrico e o mito do papel dobrado
Uma ilustração clássica do crescimento geométrico: se você dobrar uma folha de papel de 0,1 mm ao meio repetidamente, após n dobras a espessura é 0,1 × 2ⁿ mm. A Lua fica a cerca de 384.400 km — aproximadamente 3,844 × 10¹¹ mm — portanto 42 dobras teoricamente alcançariam a Lua (2⁴² ≈ 4,4 × 10¹²).
Na prática, a rigidez do papel limita uma folha comum a cerca de 7–8 dobras. Em 2012, a estudante do ensino médio Britney Gallivan estabeleceu um recorde mundial dobrando uma longa tira de papel 12 vezes. A realidade matemática permanece: progressões geométricas crescem muito além da nossa intuição, o que explica os juros compostos, a disseminação viral e o crescimento populacional.