Calcolatrice delle progressioni geometriche
Inserendo il primo termine e la ragione, calcola automaticamente il termine generale, la somma parziale e, quando la ragione ha valore assoluto minore di uno, la somma della serie geometrica infinita. Rende visibile la progressione con una tabella dei termini e un grafico.
Che cos'è una progressione geometrica
Una progressione geometrica è una successione di numeri in cui il rapporto fra due termini consecutivi qualsiasi resta sempre lo stesso. Questo rapporto costante si chiama ragione e, insieme al primo termine, determina interamente tutta la successione. Per esempio, con primo termine due e ragione tre, la progressione diventa 2, 6, 18, 54, … ogni termine è semplicemente il triplo di quello precedente.
A questa calcolatrice bastano il primo termine e la ragione per ricavare il termine generale e la somma parziale per tutti i termini desiderati, presentati in una tabella e in un grafico a barre. Quando il valore assoluto della ragione è minore di uno, viene calcolata anche la serie geometrica infinita, ossia il valore a cui la somma progressiva si avvicina man mano che si aggiungono altri termini. È un modo rapido per verificare valori che a calcolo manuale diventano presto difficili da gestire.
Come usare la calcolatrice delle progressioni geometriche
- Inserite il primo termine Digitate il valore iniziale della progressione. Sono accettati numeri positivi, negativi e con decimali.
- Inserite la ragione Digitate il rapporto fra termini consecutivi. Con ragione maggiore di uno la progressione cresce, fra zero e uno decresce, e con ragione negativa oscilla.
- Scegliete quanti termini mostrare Indicate quanti termini visualizzare nella tabella e nel grafico. Con quantità molto elevate i valori troppo grandi possono essere nascosti.
- Leggete termine e somma nella tabella Per ogni n, la tabella mostra il termine ennesimo insieme alla somma parziale accumulata fino a quel punto, per seguire il calcolo passo dopo passo.
- Osservate il grafico e la somma infinita Il grafico a barre mostra a colpo d'occhio l'andamento crescente o decrescente e, se la ragione ha valore assoluto minore di uno, viene mostrato anche il valore a cui converge la serie geometrica infinita.
Consigli per sfruttarlo al meglio
- Con ragione maggiore di uno la progressione cresce rapidamente; con ragione fra zero e uno converge a zero; con ragione negativa i segni si alternano e la progressione oscilla.
- Quando il valore assoluto della ragione è minore di uno, la somma dei termini prosegue all'infinito convergendo al valore finito dato dal primo termine diviso uno meno la ragione. Con primo termine uno e ragione un mezzo, per esempio, la somma vale due.
- L'ennesimo termine è il primo termine moltiplicato per la ragione elevata a n meno uno, e la somma parziale si ricava dalla formula che divide il primo termine per uno meno la ragione, moltiplicandolo per uno meno la ragione elevata a n, purché la ragione sia diversa da uno.
- Il grafico rappresenta ciascun termine con una barra. Con ragioni elevate le barre crescono in fretta: per una lettura agevole conviene provare valori intorno a 1,1 o 1,5.
Quando torna utile questa calcolatrice
Verificare esercizi e compiti
Inserite gli stessi valori di primo termine, ragione e n calcolati a mano per controllare il termine generale o la somma parziale. Con numeri grandi gli errori si notano rapidamente.
Farsi un'idea della crescita a interesse composto
Un capitale che cresce a un tasso fisso segue esattamente la stessa struttura di una progressione geometrica con ragione maggiore di uno. Per gli importi esatti conviene affiancare una calcolatrice di interesse composto.
Farsi un'idea di un decadimento tipo emivita
Fenomeni come il decadimento di una sostanza radioattiva o la diluizione progressiva di un inchiostro, in cui si perde una frazione fissa a ogni passaggio, si possono approssimare con una progressione geometrica a ragione compresa fra zero e uno.
Intuire la complessità di un algoritmo
Quando un processo ricorsivo raddoppia o triplica il proprio carico di lavoro a ogni passaggio, questo strumento rende visibile numericamente la rapidità della crescita geometrica.
Una prima idea approssimativa di prestiti o piani di risparmio
Prima di un calcolo dettagliato degli interessi, è un modo veloce per farsi un'idea di quanto velocemente un certo rapporto spinga un valore verso l'alto lungo molti passaggi.
Glossario
- Primo termine
- Il valore iniziale della progressione. Insieme alla ragione, determina in modo univoco l'intera successione.
- Ragione
- Il rapporto costante fra due termini consecutivi qualsiasi. Vale la relazione per cui ogni termine è pari al precedente moltiplicato per la ragione.
- Termine generale
- Una formula che fornisce direttamente il termine ennesimo della successione in funzione di n. In una progressione geometrica è il primo termine moltiplicato per la ragione elevata a n meno uno.
- Somma parziale
- La somma dei primi n termini della progressione. Si calcola dividendo il primo termine per uno meno la ragione, moltiplicato per uno meno la ragione elevata a n, purché la ragione sia diversa da uno.
- Serie geometrica infinita
- La somma ottenuta sommando indefinitamente tutti i termini di una progressione geometrica. Converge a un valore finito soltanto quando il valore assoluto della ragione è minore di uno.
- Convergenza
- La proprietà per cui una somma o una successione di valori si avvicina sempre più a un unico valore fisso man mano che si aggiungono termini. Una serie geometrica converge esattamente quando il valore assoluto della ragione è minore di uno.
- Divergenza
- Il contrario della convergenza: la somma continua a crescere senza limite oppure oscilla indefinitamente, invece di stabilizzarsi su un valore fisso. Una serie geometrica diverge quando il valore assoluto della ragione è maggiore o uguale a uno.
Domande frequenti
A proposito — le serie geometriche e il primato della piegatura della carta
Il celebre problema di quante volte occorra piegare a metà un foglio perché raggiunga la Luna si spiega con una progressione geometrica. Piegando n volte un foglio spesso un decimo di millimetro, lo spessore diventa un decimo per due elevato a n. Poiché la distanza dalla Luna è di circa 384.400 chilometri, quarantadue piegature basterebbero.
Nella realtà, per la rigidità della carta e per l'attrito, un foglio comune si piega al massimo sette o otto volte. Nel 2012, però, la studentessa Britney Gallivan riuscì a piegarne dodici volte uno particolarmente lungo, stabilendo il primato noto in materia. La forza delle progressioni geometriche si manifesta proprio in calcoli come questo, che appaiono irrealistici ma sono matematicamente corretti.