Calculadora de números figurados (triangulares, quadrados, pentagonais, hexagonais)
Calcule números triangulares, quadrados, pentagonais e hexagonais do 1º ao Nº termo e compare-os em um gráfico. Calcule instantaneamente o valor de qualquer termo n. Inclui uma tabela de referência para os termos de 1 a 15.
Tabela de referência para os termos de 1 a 15 (triangulares, quadrados, pentagonais, hexagonais)
Uma tabela com os valores dos quatro tipos de números figurados do 1º ao 15º termo.
| n | Números triangulares | Números quadrados | Números pentagonais | Números hexagonais |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| 6 | 21 | 36 | 51 | 66 |
| 7 | 28 | 49 | 70 | 91 |
| 8 | 36 | 64 | 92 | 120 |
| 9 | 45 | 81 | 117 | 153 |
| 10 | 55 | 100 | 145 | 190 |
| 11 | 66 | 121 | 176 | 231 |
| 12 | 78 | 144 | 210 | 276 |
| 13 | 91 | 169 | 247 | 325 |
| 14 | 105 | 196 | 287 | 378 |
| 15 | 120 | 225 | 330 | 435 |
O que são os números figurados
Um número figurado conta os pontos quando se dispõem com regularidade formando um polígono. Colocados em triângulo dão os números triangulares 1, 3, 6, 10 e seguintes; em quadrado, os quadrados 1, 4, 9, 16; em pentágono, os pentagonais 1, 5, 12, 22. **Os números quadrados coincidem com os quadrados perfeitos** porque os pontos dispostos em quadrado somam exatamente n × n: um exemplo simples de geometria e álgebra a encontrarem-se de frente.
Cada família tem uma fórmula fechada singela: n(n+1)/2 para os triangulares, n² para os quadrados, n(3n−1)/2 para os pentagonais e n(2n−1) para os hexagonais. Conhecem-se também relações entre elas: **dois números triangulares consecutivos somam um número quadrado**, e **os hexagonais coincidem com os triangulares de índice ímpar.** Ver surgirem essas ligações inesperadas constitui boa parte do encanto. Esta ferramenta calcula do primeiro termo até ao enésimo e compara-os num gráfico, e pode também dar-lhe um termo isolado.
Como calcular números figurados
- Escolha a família Selecione triangulares, quadrados, pentagonais ou hexagonais.
- Indique quantos termos mostrar Do primeiro ao enésimo surgem como lista e como gráfico.
- Compare o crescimento no gráfico Vê-se de imediato que quantos mais lados tem o polígono, mais depressa a sucessão sobe.
- Obtenha um termo isolado Para um n grande pode pedir apenas o valor desse termo.
Dicas para aproveitar melhor
- Os números triangulares T(n) = n(n+1)/2 contam o total de pontos ao empilhá-los em um triângulo equilátero. A clássica disposição de pinos de boliche (10 pinos) é o número triangular T(4) = 10.
- Os números quadrados S(n) = n² contam o total de pontos dispostos em um quadrado. Também são conhecidos pela propriedade de que somar números ímpares consecutivos produz um número quadrado (1, 1+3=4, 1+3+5=9, ...).
- Os números pentagonais P(n) = n(3n-1)/2 e os números hexagonais H(n) = n(2n-1) contam pontos dispostos em um pentágono e um hexágono regulares, respectivamente. Todo número hexagonal também é um número triangular (H(n) = T(2n-1)).
- O gráfico permite comparar a rapidez de crescimento dos quatro tipos. Para o mesmo n, formas com mais vértices (3, 4, 5, 6) tendem a produzir valores maiores.
- Esta ferramenta suporta cálculos até o 1000º termo. Como os valores crescem rapidamente para n grandes, a exibição do gráfico e da tabela é limitada a 1-30 termos para melhor legibilidade.
Situações em que ajuda
Estudar sucessões
Confronte a dedução de uma fórmula fechada com os valores reais para confirmar o que a expressão significa.
Verificar relações entre sucessões
Comprove com números concretos que dois triangulares consecutivos somam de facto um quadrado.
Exercícios de programação
Compare com os valores corretos uma função que tenha escrito para produzir números figurados.
Documentar-se para enigmas e matemática de competição
Os números figurados aparecem amiúde em problemas de teoria dos números, e uma tabela de valores facilita ver o padrão.
Termos de números figurados
- Número triangular
- A contagem de pontos dispostos em triângulo, com fórmula fechada n(n+1)/2. **Equivale à soma dos inteiros de um até n.**
- Número quadrado
- A contagem de pontos dispostos em quadrado, a saber n².
- Número pentagonal
- A contagem de pontos dispostos em pentágono regular, a saber n(3n−1)/2.
- Número hexagonal
- A contagem de pontos dispostos em hexágono regular, a saber n(2n−1). **Coincidem com os triangulares de índice ímpar.**
- Fórmula fechada
- Uma expressão que dá o enésimo termo de uma sucessão em função de n. Toda a família de números figurados possui uma singela.
- Teorema dos números poligonais
- O resultado segundo o qual todo o número natural é soma de no máximo três triangulares, quatro quadrados ou cinco pentagonais.
Perguntas frequentes
Curiosidade — Os pitagóricos e o "mistério dos números" encontrado nos números figurados
O estudo dos números figurados (poligonais) remonta à escola pitagórica da Grécia Antiga, por volta do século 6 a.C. Guiados pela crença de que "tudo é número", eles dispunham pedrinhas em formas geométricas para compreender visualmente as propriedades dos números. Os próprios nomes "números triangulares" e "quadrados" vêm das formas que os pontos assumem ao serem dispostos.
Existe uma bela relação entre números triangulares e quadrados: somar dois números triangulares consecutivos sempre produz um número quadrado (por exemplo, T(3)+T(4) = 6+10 = 16 = 4²). Isso se torna intuitivo ao desenhar de fato a disposição dos pontos. Técnicas de prova geométrica como essa tiveram grande influência no desenvolvimento posterior da teoria dos números.
Os números figurados continuam sendo objeto de estudo ativo na matemática moderna — por exemplo, a propriedade de que "todo número hexagonal também é triangular", ou a busca por números que satisfazem várias definições de número figurado ao mesmo tempo, ainda são exercícios populares em teoria dos números hoje em dia. É notável que muitas propriedades descobertas pelos pitagóricos há 2500 anos, dispondo pedrinhas à mão sem papel ou cálculo escrito, ainda sejam válidas como teoremas atualmente.