等比數列計算器（aₙ = a₁·rⁿ⁻¹）
輸入首項 a₁ 和公比 r，自動計算等比數列的通項、前 n 項和以及無窮等比級數（|r|<1 時）。含項數表格和條形圖視覺化。
提示
- 公比 r > 1 時數列急劇增長，0 < r < 1 時趨向 0，r < 0 時各項符號交替變化（振盪數列）。
- 當 |r| < 1 時，無窮項之和收斂到 S∞ = a₁ / (1 − r)。例如 a₁=1、r=1/2 時，S∞ = 2。
- 第 n 項為 aₙ = a₁ · r^(n−1)，前 n 項和為 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r)（r ≠ 1 時）。
- 圖表以條形顯示各項。公比較大時條形急劇增高，建議使用 r = 1.1～1.5 左右的值來直觀感受增長趨勢。
常見問題
僅當 |r| < 1 時，S∞ = a₁ / (1 − r) 收斂為有限值。|r| ≥ 1 時，各項不會足夠快地趨向 0，級數發散（趨向無窮或振盪）。
公比為負（例如 r = −2）時，各項符號交替變化，形成振盪數列。例如 a₁=1、r=−2 時，數列為 1, −2, 4, −8, 16, …
設 S = a₁ + a₁r + … + a₁r^(n−1)，兩邊乘以 r 得 rS = a₁r + … + a₁rⁿ，相減得 S − rS = a₁ − a₁rⁿ，即 S(1−r) = a₁(1−rⁿ)，因此 Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r)。
閒話 ― 無窮等比級數與摺紙世界紀錄
「把一張紙不斷對摺，要多少次才能達到月球那麼厚？」這個看似荒誕的問題，恰好可以用等比數列來回答，而答案的懸殊程度，很能說明指數增長有多麼反直覺。設紙張厚度為 0.1 mm，對摺 n 次後厚度就是 0.1 × 2ⁿ mm。月球距離地球約 384,400 km ≈ 3.844 × 10¹¹ mm，兩相對照就會發現，理論上只需要 對摺 42 次就足夠了（因為 2⁴² ≈ 4.4 × 10¹²）。
然而現實遠沒有這麼輕鬆。這是因為紙張越折越厚、越折越硬，普通尺寸的紙張頂多能對摺 7～8 次就再也折不動了。為了突破這個極限，2012 年一位名叫 Britney Gallivan 的高中生使用特製的超長紙張，一路挑戰到了 對摺 12 次，創下了當時的世界紀錄——這個數字聽起來樸素，卻已經是絕大多數人憑直覺難以想像的極限。
這個故事之所以有趣，正是因為它凸顯了等比數列「看似緩慢、實則加速」的本質：前幾次對摺帶來的厚度變化微不足道，但只要公比大於 1，增長就會在不知不覺間變得驚人。同樣的道理也出現在複利計算、病毒式傳播乃至晶片效能提升等現象中——理解等比數列，就是理解為什麼「指數增長」總是比我們的直覺快得多。