等比數列計算器（aₙ = a₁·rⁿ⁻¹）
輸入首項 a₁ 和公比 r，自動計算等比數列的通項、前 n 項和以及無窮等比級數（|r|<1 時）。含項數表格和條形圖視覺化。
什麼是等比數列
等比數列是指相鄰兩項之比始終保持不變的數列。這個固定的比值稱為公比 r，只要知道首項 a₁和公比，就能確定整個數列的形態。例如首項為 2、公比為 3 時，數列依序為 2, 6, 18, 54, …，每一項都是前一項的 3 倍。
本工具只需輸入首項和公比，即可自動列出通項 aₙ = a₁·rⁿ⁻¹和前 n 項和 Sₙ，並以表格和條形圖的形式呈現。當 |r| < 1 時，還會計算出各項不斷累加後收斂到的無窮等比級數 S∞。對於手算容易出錯、位數迅速膨脹的等比數列，這是快速驗證結果的好辦法。
等比數列計算器的使用方法
- 輸入首項 a₁ 輸入數列的第一個值，可以是正數、負數或小數。
- 輸入公比 r 輸入相鄰兩項之間的比值。r > 1 時數列遞增，0 < r < 1 時遞減，r < 0 時會出現正負交替的振盪數列。
- 設定顯示的項數 指定表格和圖表中要顯示多少項。項數過多時，數值可能因過大而被省略。
- 在表格中查看 aₙ 與 Sₙ 表格會逐項列出第 n 項 aₙ 以及截至該項的前 n 項和 Sₙ，方便按步驟核對計算過程。
- 查看圖表與無窮級數結果 條形圖能直觀展現數列整體的增減趨勢，若 |r| < 1，還會一併顯示無窮等比級數 S∞ 的收斂值。
用好本工具的小技巧
- 公比 r > 1 時數列急劇增長，0 < r < 1 時趨向 0，r < 0 時各項符號交替變化（振盪數列）。
- 當 |r| < 1 時，無窮項之和收斂到 S∞ = a₁ / (1 − r)。例如 a₁=1、r=1/2 時，S∞ = 2。
- 第 n 項為 aₙ = a₁ · r^(n−1)，前 n 項和為 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r)（r ≠ 1 時）。
- 圖表以條形顯示各項。公比較大時條形急劇增高，建議使用 r = 1.1～1.5 左右的值來直觀感受增長趨勢。
這些場景可以用得上
核對教材或作業答案
將手算得到的首項、公比、項數輸入本工具，即可核對通項或前 n 項和是否正確。數值位數越大，越容易發現手算中的失誤。
理解複利式成長
本金按固定利率成長的過程，結構上與公比 r > 1 的等比數列完全一致。若需要具體金額，可結合複利計算工具一起使用。
理解半衰期式衰減
放射性物質的殘留量、墨水濃度的稀釋過程等按固定比例逐步減少的現象，都可以用公比 0 < r < 1 的等比數列來近似描述。
直觀感受演算法複雜度的增長
當遞迴程式的處理量每一步都成倍或成三倍增加時，用本工具輸入相應的增長倍數，可以直觀地體會等比增長的驚人速度。
粗略了解貸款或定期定額的增長速度
在進行詳細的利率計算之前，可以先用本工具大致了解某個比率會以多快的速度把數值推高。
術語解釋
- 首項
- 數列的第一項，記作 a₁。只要確定了首項和公比，整個數列就唯一確定。
- 公比
- 相鄰兩項之間的比值，記作 r。數列中每一項都滿足 aₙ₊₁ = aₙ × r 這一關係。
- 通項
- 用 n 表示數列第 n 項的公式。等比數列的通項公式為 aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹。
- 前 n 項和
- 數列從第 1 項加到第 n 項的總和，記作 Sₙ。當 r ≠ 1 時，可由 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r) 求得。
- 無窮等比級數
- 將等比數列的各項無限累加所得到的和。僅當 |r| < 1 時，才會收斂為有限值 S∞ = a₁ / (1 − r)。
- 收斂
- 隨著項數不斷增加，和或數值無限接近某一確定值的性質。等比數列在 |r| < 1 時前 n 項和是收斂的。
- 發散
- 即使項數不斷增加，和也不會趨近某個固定值，而是無限增大或持續振盪的性質。等比數列在 |r| ≥ 1 時是發散的。
常見問題
閒話 ― 無窮等比級數與摺紙世界紀錄
「把一張紙不斷對摺，要多少次才能達到月球那麼厚？」這個看似荒誕的問題，恰好可以用等比數列來回答，而答案的懸殊程度，很能說明指數增長有多麼反直覺。設紙張厚度為 0.1 mm，對摺 n 次後厚度就是 0.1 × 2ⁿ mm。月球距離地球約 384,400 km ≈ 3.844 × 10¹¹ mm，兩相對照就會發現，理論上只需要 對摺 42 次就足夠了（因為 2⁴² ≈ 4.4 × 10¹²）。
然而現實遠沒有這麼輕鬆。這是因為紙張越折越厚、越折越硬，普通尺寸的紙張頂多能對摺 7～8 次就再也折不動了。為了突破這個極限，2012 年一位名叫 Britney Gallivan 的高中生使用特製的超長紙張，一路挑戰到了 對摺 12 次，創下了當時的世界紀錄——這個數字聽起來樸素，卻已經是絕大多數人憑直覺難以想像的極限。
這個故事之所以有趣，正是因為它凸顯了等比數列「看似緩慢、實則加速」的本質：前幾次對摺帶來的厚度變化微不足道，但只要公比大於 1，增長就會在不知不覺間變得驚人。同樣的道理也出現在複利計算、病毒式傳播乃至晶片效能提升等現象中——理解等比數列，就是理解為什麼「指數增長」總是比我們的直覺快得多。