Calculadora de sucesión geométrica (aₙ = a₁·rⁿ⁻¹)
Introduce el primer término a₁ y la razón común r para calcular el término n-ésimo, las sumas parciales y la suma infinita (cuando |r| < 1). Incluye tabla de términos y gráfico de barras.
Qué es una sucesión geométrica
Una sucesión geométrica es una lista de números en la que la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera se mantiene siempre igual. A esa razón constante se le llama razón común r, y junto con el primer término a₁ determina por completo toda la sucesión. Por ejemplo, si a₁ = 2 y r = 3, la sucesión resulta 2, 6, 18, 54, … cada término es simplemente el triple del anterior.
Esta calculadora solo necesita el primer término y la razón común para obtener el término general aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ y la suma parcial Sₙ para tantos términos como quieras, mostrados en una tabla y un gráfico de barras. Cuando |r| < 1, también calcula la serie geométrica infinita S∞ a la que se aproxima la suma acumulada a medida que se van sumando más términos. Es una forma rápida de comprobar valores que a mano se vuelven difíciles de manejar enseguida.
Cómo usar la calculadora de sucesión geométrica
- Introduce el primer término a₁ Escribe el valor inicial de la sucesión. Se aceptan números positivos, negativos y decimales.
- Introduce la razón común r Escribe la razón entre términos consecutivos. r > 1 produce crecimiento, 0 < r < 1 produce decrecimiento y r < 0 produce una sucesión oscilante.
- Indica cuántos términos mostrar Define el número de términos que aparecerán en la tabla y el gráfico. Con cantidades muy grandes, los valores pueden ocultarse si crecen demasiado.
- Consulta aₙ y Sₙ en la tabla Para cada n, la tabla muestra el término n-ésimo aₙ junto con la suma parcial acumulada Sₙ, para seguir el cálculo paso a paso.
- Revisa el gráfico y la suma infinita El gráfico de barras muestra de un vistazo el patrón de crecimiento o decrecimiento, y cuando |r| < 1 también se muestra el valor al que converge la serie geométrica infinita S∞.
Consejos para aprovecharla mejor
- Cuando r > 1 la sucesión crece rápidamente. Cuando 0 < r < 1 se aproxima a 0. Cuando r < 0 los términos alternan de signo (sucesión oscilante).
- Cuando |r| < 1, la suma infinita converge a S∞ = a₁ / (1 − r). Por ejemplo, con a₁ = 1 y r = 1/2, S∞ = 2.
- El término n-ésimo es aₙ = a₁ · r^(n−1) y la suma parcial es Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r) (cuando r ≠ 1).
- El gráfico de barras muestra cada término. Para valores grandes de r las barras crecen muy rápido, por lo que valores de r entre 1.1 y 1.5 permiten ver mejor el patrón de crecimiento.
Cuándo resulta útil esta calculadora
Comprobar ejercicios o tareas
Introduce los mismos valores de a₁, r y n que calculaste a mano para verificar el término general o la suma parcial. Los errores se notan enseguida cuando los números crecen mucho.
Entender el crecimiento del interés compuesto
Un capital que crece a una tasa de interés fija sigue la misma estructura que una sucesión geométrica con r > 1. Combina esta herramienta con una calculadora de interés compuesto si necesitas las cifras exactas.
Entender decrecimientos tipo semivida
Fenómenos como la desintegración de una sustancia radiactiva o la dilución de una tinta, donde se pierde una fracción fija en cada paso, pueden aproximarse con una sucesión geométrica de 0 < r < 1.
Intuir la complejidad de un algoritmo
Cuando un proceso recursivo duplica o triplica su carga de trabajo en cada paso, esta herramienta permite ver numéricamente la enorme velocidad del crecimiento geométrico.
Una primera idea aproximada de préstamos o ahorros
Antes de hacer un cálculo detallado de intereses, esta calculadora sirve para hacerse una idea rápida de cuánto empuja hacia arriba un determinado ratio a lo largo de muchos pasos.
Glosario
- Primer término
- El valor inicial de la sucesión, escrito a₁. Junto con la razón común, determina de forma única el resto de la sucesión.
- Razón común
- La razón constante entre dos términos consecutivos cualesquiera, escrita r. Cumple aₙ₊₁ = aₙ × r para todos los términos de la sucesión.
- Término general
- Una fórmula que da el término n-ésimo de la sucesión en función de n. En una sucesión geométrica es aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹.
- Suma parcial
- La suma de los primeros n términos de la sucesión, escrita Sₙ. Se calcula como Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r) siempre que r ≠ 1.
- Serie geométrica infinita
- La suma obtenida al añadir todos los términos de una sucesión geométrica de forma indefinida. Solo converge a un valor finito S∞ = a₁ / (1 − r) cuando |r| < 1.
- Convergencia
- La propiedad por la que una suma o sucesión de valores se acerca cada vez más a un único valor fijo a medida que se añaden más términos. Una serie geométrica converge precisamente cuando |r| < 1.
- Divergencia
- Lo contrario de la convergencia: la suma sigue creciendo sin límite u oscila para siempre, en lugar de estabilizarse en un valor fijo. Una serie geométrica diverge siempre que |r| ≥ 1.
Preguntas frecuentes
A propósito — El crecimiento geométrico y el mito del papel doblado
Una ilustración clásica del crecimiento geométrico: si doblas una hoja de papel de 0.1 mm por la mitad repetidamente, tras n dobleces su grosor es 0.1 × 2ⁿ mm. La Luna está a unos 384,400 km — aproximadamente 3.844 × 10¹¹ mm — así que 42 dobleces teóricamente llegarían a la Luna (2⁴² ≈ 4.4 × 10¹²).
En la práctica, la rigidez del papel limita una hoja estándar a unos 7–8 dobleces. En 2012, la estudiante de secundaria Britney Gallivan estableció un récord mundial doblando una tira larga de papel 12 veces. La realidad matemática sigue siendo válida: las sucesiones geométricas crecen mucho más allá de nuestra intuición, lo que explica el interés compuesto, la propagación viral y el crecimiento demográfico.