等比数列計算機（aₙ = a₁·rⁿ⁻¹）
初項 a₁・公比 r を入力して等比数列の一般項・部分和・無限等比級数（|r|<1 のとき）を自動計算。項の一覧表とグラフで数列を可視化。
等比数列とは
等比数列とは、隣り合う項の比が常に一定になる数列のことです。最初の値を初項 a₁、隣の項との比を公比 rと呼び、この2つの値だけで数列全体の形が決まります。たとえば a₁=2, r=3 なら 2, 6, 18, 54, … と各項が3倍ずつ増えていきます。
このツールでは、初項と公比を入力するだけで一般項 aₙ = a₁·rⁿ⁻¹と部分和 Sₙを指定した項数まで一覧表とグラフで表示します。さらに |r| < 1 の場合は、項を無限に足し続けたときに収束する無限等比級数 S∞も自動的に計算します。手計算だと桁数が大きくなりやすい等比数列の値を、素早く正確に確認したいときに使えます。
等比数列計算機の使い方
- 初項 a₁ を入力する 数列の最初の値を入力します。正の数・負の数・小数のいずれも入力できます。
- 公比 r を入力する 隣り合う項の比を入力します。r > 1 で増加、0 < r < 1 で減少、r < 0 で振動する数列になります。
- 表示する項数を指定する 一覧表とグラフに表示したい項の数を指定します。多すぎると値が大きくなりすぎて省略される場合があります。
- 一覧表で aₙ・Sₙ を確認する 各 n について第 n 項 aₙ と、そこまでの部分和 Sₙ が一覧表に表示されるので、途中経過を含めて確認できます。
- グラフと無限和の結果を見る 棒グラフで数列全体の増減の様子をつかみつつ、|r| < 1 なら無限等比級数 S∞ の収束値も併せて確認します。
使いこなすためのヒント
- 公比 r > 1 なら急激に増加、0 < r < 1 なら 0 に収束、r < 0 なら符号が交互に変わる振動数列になります。
- |r| < 1 のとき、無限に足し続けた和 S∞ = a₁ / (1 − r) が有限の値に収束します。例えば a₁=1, r=1/2 なら S∞ = 2 です。
- 第 n 項は aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹、部分和は Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r)（r ≠ 1 のとき）で求まります。
- グラフは各項を棒で表示します。公比が大きいと棒が急激に高くなるため、r = 1.1〜1.5 程度の値で視覚的に確認するのがおすすめです。
こんなときに使えます
教科書・宿題の答え合わせ
手計算した一般項や部分和が合っているか、このツールに同じ a₁・r・n を入力して検算できます。桁数が大きい項ほど手計算ミスに気づきやすくなります。
複利のような増加のイメージづくり
元本が一定の利率で増えていく様子は公比 r > 1 の等比数列と同じ構造です。詳しい金額計算をしたい場合は複利計算ツールと併用すると理解が深まります。
半減期のような減少のイメージづくり
放射性物質の残存量やインクの薄まり方など、一定の割合で半分ずつ減っていく現象は公比 0 < r < 1 の等比数列で近似できます。
アルゴリズムの計算量の直感的理解
再帰的に処理量が2倍・3倍に増えていくプログラムの実行時間を見積もる際、等比数列の増加の速さを数値で体感するのに役立ちます。
ローンや積立の増え方のざっくり確認
詳細な金利計算の前に、比率がどれくらいの速さで数値を押し上げるのかを大まかに把握したいときの下調べに使えます。
用語集
- 初項
- 数列の最初の項のことです。等比数列では a₁ と表し、この値と公比が決まれば数列全体が一意に定まります。
- 公比
- 隣り合う項どうしの比のことです。r と表し、aₙ₊₁ = aₙ × r という関係が数列のすべての項で成り立ちます。
- 一般項
- 数列の n 番目の項を n の式で表したものです。等比数列では aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ という式で表されます。
- 部分和
- 数列の第1項から第 n 項までを足し合わせた値のことです。Sₙ と表し、Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r)（r ≠ 1）で求められます。
- 無限等比級数
- 等比数列の項を無限に足し続けた和のことです。|r| < 1 のときに限り、S∞ = a₁ / (1 − r) という有限の値に収束します。
- 収束
- 項数を増やしていったときに、和や値が特定の一つの値に限りなく近づいていくことです。等比数列では |r| < 1 のときに部分和が収束します。
- 発散
- 項数を増やしても和が一定の値に近づかず、無限に大きくなったり振動し続けたりすることです。等比数列では |r| ≥ 1 のときに発散します。
よくある質問
余談ですが ― 無限等比級数と折り紙の世界記録
「1 枚の紙を半分に折り続けると何回で月に届くか」という有名な問題は、等比数列で説明できます。厚さ 0.1 mm の紙を n 回折ると厚さは 0.1 × 2ⁿ mm になります。月までの距離は約 384,400 km ≈ 3.844 × 10¹¹ mm なので、42 回折れば届く計算になります（2⁴² ≈ 4.4 × 10¹²）。
現実には紙の剛性と摩擦のため、一般的な紙は 7〜8 回が限界です。しかし 2012 年に Britney Gallivan という高校生が特別な長い紙を使って 12 回折ることに成功し、折り紙の折り畳み世界記録として知られるようになりました。等比数列の威力は、このような「非現実的に見えるが数学的には正しい」計算にこそ現れます。