등비수열 계산기 (aₙ = a₁·rⁿ⁻¹)
첫째항 a₁과 공비 r을 입력하면 일반항, 부분합, 무한등비급수(|r|<1일 때)를 자동으로 계산합니다. 항 목록표와 막대 그래프로 수열을 시각화합니다.
등비수열이란
등비수열이란 이웃한 두 항의 비가 항상 일정하게 유지되는 수열을 말합니다. 이 일정한 비를 공비 r이라 부르며, 첫째항 a₁과 이 값만 있으면 수열 전체가 완전히 결정됩니다. 예를 들어 a₁=2, r=3이면 수열은 2, 6, 18, 54, … 로 이어지며, 각 항은 바로 앞 항의 3배가 됩니다.
이 계산기는 첫째항과 공비만 입력하면 일반항 aₙ = a₁·rⁿ⁻¹과 부분합 Sₙ을 원하는 항 수만큼 표와 막대 그래프로 보여줍니다. |r| < 1인 경우에는 항을 무한히 더해 나갈 때 수렴하는 무한등비급수 S∞도 함께 계산합니다. 손으로 계산하면 자릿수가 금세 커지는 등비수열의 값을 빠르고 정확하게 확인하고 싶을 때 유용합니다.
등비수열 계산기 사용법
- 첫째항 a₁을 입력합니다 수열의 시작 값을 입력합니다. 양수, 음수, 소수 모두 입력할 수 있습니다.
- 공비 r을 입력합니다 이웃한 항 사이의 비를 입력합니다. r > 1이면 증가, 0 < r < 1이면 감소, r < 0이면 진동하는 수열이 됩니다.
- 표시할 항의 수를 지정합니다 표와 그래프에 표시할 항의 개수를 지정합니다. 항이 너무 많으면 값이 지나치게 커져 생략될 수 있습니다.
- 표에서 aₙ과 Sₙ을 확인합니다 각 n에 대해 제 n항 aₙ과 그때까지의 부분합 Sₙ이 표에 함께 표시되어 계산 과정을 단계별로 확인할 수 있습니다.
- 그래프와 무한급수의 결과를 확인합니다 막대 그래프로 수열 전체의 증감 흐름을 한눈에 파악하고, |r| < 1이면 무한등비급수 S∞의 수렴값도 함께 확인합니다.
더 잘 활용하기 위한 팁
- 공비 r > 1이면 수열이 빠르게 증가하고, 0 < r < 1이면 0에 수렴하며, r < 0이면 부호가 교대로 바뀌는 진동수열이 됩니다.
- |r| < 1일 때 무한급수의 합이 S∞ = a₁ / (1 − r)에 수렴합니다. 예를 들어 a₁=1, r=1/2이면 S∞ = 2입니다.
- 일반항은 aₙ = a₁ · r^(n−1), 부분합은 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r)（r ≠ 1일 때）입니다.
- 막대 그래프는 각 항을 막대로 표시합니다. 공비가 크면 막대가 급격히 높아지므로 r = 1.1~1.5 정도의 값으로 성장 패턴을 시각적으로 확인하는 것이 좋습니다.
이럴 때 사용할 수 있습니다
교과서·숙제 답 검산
손으로 계산한 일반항이나 부분합이 맞는지, 같은 a₁·r·n을 입력해 검산할 수 있습니다. 자릿수가 큰 항일수록 계산 실수를 쉽게 발견할 수 있습니다.
복리처럼 증가하는 흐름 이해하기
원금이 일정한 이율로 늘어나는 모습은 공비 r > 1인 등비수열과 같은 구조입니다. 구체적인 금액을 계산하려면 복리 계산 도구와 함께 사용하면 이해가 깊어집니다.
반감기처럼 감소하는 흐름 이해하기
방사성 물질의 잔존량이나 잉크 농도가 옅어지는 현상처럼 일정한 비율로 계속 줄어드는 현상은 공비 0 < r < 1인 등비수열로 근사할 수 있습니다.
알고리즘 시간 복잡도를 직관적으로 이해하기
재귀적으로 처리량이 2배·3배씩 늘어나는 프로그램의 실행 시간을 가늠할 때, 등비수열이 얼마나 빠르게 커지는지 수치로 체감하는 데 도움이 됩니다.
대출·적금이 불어나는 속도 대략 파악하기
자세한 금리 계산에 앞서, 비율이 값을 얼마나 빠르게 밀어 올리는지 대략적으로 파악하고 싶을 때 사전 조사용으로 사용할 수 있습니다.
용어집
- 첫째항
- 수열의 맨 처음 항을 말합니다. 등비수열에서는 a₁로 나타내며, 이 값과 공비가 정해지면 수열 전체가 하나로 결정됩니다.
- 공비
- 이웃한 항끼리의 비를 말합니다. r로 나타내며, 수열의 모든 항에서 aₙ₊₁ = aₙ × r이라는 관계가 성립합니다.
- 일반항
- 수열의 n번째 항을 n에 대한 식으로 나타낸 것입니다. 등비수열에서는 aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹이라는 식으로 표현됩니다.
- 부분합
- 수열의 제1항부터 제 n항까지 더한 값을 말합니다. Sₙ으로 나타내며, Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r)（r ≠ 1）로 구할 수 있습니다.
- 무한등비급수
- 등비수열의 항을 무한히 더한 합을 말합니다. |r| < 1일 때만 S∞ = a₁ / (1 − r)이라는 유한한 값으로 수렴합니다.
- 수렴
- 항의 수를 늘려 갈수록 합이나 값이 하나의 특정한 값에 한없이 가까워지는 것을 말합니다. 등비수열에서는 |r| < 1일 때 부분합이 수렴합니다.
- 발산
- 항의 수를 늘려도 합이 일정한 값에 가까워지지 않고 무한히 커지거나 계속 진동하는 것을 말합니다. 등비수열에서는 |r| ≥ 1일 때 발산합니다.
자주 묻는 질문
여담 ― 등비급수와 종이 접기 세계기록
「종이 한 장을 계속 반으로 접으면 몇 번 만에 달에 닿을까」라는 유명한 문제는 등비수열로 설명할 수 있습니다. 두께 0.1 mm인 종이를 n번 접으면 두께는 0.1 × 2ⁿ mm가 됩니다. 달까지의 거리는 약 384,400 km ≈ 3.844 × 10¹¹ mm이므로 이론적으로 42번 접으면 달에 닿는다는 계산이 나옵니다（2⁴² ≈ 4.4 × 10¹²）.
현실에서는 종이의 강성과 마찰 때문에 일반 종이는 7~8번이 한계입니다. 하지만 2012년 고등학생 Britney Gallivan이 특수 제작된 긴 종이를 사용해 12번 접는 데 성공해 세계기록을 세웠습니다. 등비수열의 위력은 「현실적으로 불가능해 보이지만 수학적으로는 완벽히 옳은」 이런 계산에서 가장 잘 드러납니다.