等比数列计算器（aₙ = a₁·rⁿ⁻¹）

输入首项 a₁ 和公比 r，自动计算等比数列的通项、前 n 项和以及无穷等比级数（|r|<1 时）。含项数表格和条形图可视化。

最后更新: 2026-08-27

什么是等比数列

等比数列是指相邻两项之比始终保持不变的数列。这个固定的比值称为公比 r，只要知道首项 a₁和公比，就能确定整个数列的形态。例如首项为 2、公比为 3 时，数列依次为 2, 6, 18, 54, …，每一项都是前一项的 3 倍。

本工具只需输入首项和公比，即可自动列出通项 aₙ = a₁·rⁿ⁻¹和前 n 项和 Sₙ，并以表格和条形图的形式呈现。当 |r| < 1 时，还会计算出各项不断累加后收敛到的无穷等比级数 S∞。对于手算容易出错、位数迅速膨胀的等比数列，这是快速验证结果的好办法。

等比数列计算器的使用方法

输入首项 a₁ 输入数列的第一个值，可以是正数、负数或小数。
输入公比 r 输入相邻两项之间的比值。r > 1 时数列递增，0 < r < 1 时递减，r < 0 时会出现正负交替的振荡数列。
设置显示的项数指定表格和图表中要显示多少项。项数过多时，数值可能因过大而被省略。
在表格中查看 aₙ 与 Sₙ 表格会逐项列出第 n 项 aₙ 以及截至该项的前 n 项和 Sₙ，方便按步骤核对计算过程。
查看图表与无穷级数结果条形图能直观展现数列整体的增减趋势，若 |r| < 1，还会一并显示无穷等比级数 S∞ 的收敛值。

用好本工具的小技巧

公比 r > 1 时数列急剧增长，0 < r < 1 时趋向 0，r < 0 时各项符号交替变化（振荡数列）。
当 |r| < 1 时，无穷项之和收敛到 S∞ = a₁ / (1 − r)。例如 a₁=1、r=1/2 时，S∞ = 2。
第 n 项为 aₙ = a₁ · r^(n−1)，前 n 项和为 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r)（r ≠ 1 时）。
图表以条形显示各项。公比较大时条形急剧增高，建议使用 r = 1.1～1.5 左右的值来直观感受增长趋势。

这些场景可以用得上

核对教材或作业答案

将手算得到的首项、公比、项数输入本工具，即可核对通项或前 n 项和是否正确。数值位数越大，越容易发现手算中的失误。

理解复利式增长

本金按固定利率增长的过程，结构上与公比 r > 1 的等比数列完全一致。若需要具体金额，可结合复利计算工具一起使用。

理解半衰期式衰减

放射性物质的残留量、墨水浓度的稀释过程等按固定比例逐步减少的现象，都可以用公比 0 < r < 1 的等比数列来近似描述。

直观感受算法复杂度的增长

当递归程序的处理量每一步都成倍或成三倍增加时，用本工具输入相应的增长倍数，可以直观地体会等比增长的惊人速度。

粗略了解贷款或定投的增长速度

在进行详细的利率计算之前，可以先用本工具大致了解某个比率会以多快的速度把数值推高。

术语解释

首项: 数列的第一项，记作 a₁。只要确定了首项和公比，整个数列就唯一确定。
公比: 相邻两项之间的比值，记作 r。数列中每一项都满足 aₙ₊₁ = aₙ × r 这一关系。
通项: 用 n 表示数列第 n 项的公式。等比数列的通项公式为 aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹。
前 n 项和: 数列从第 1 项加到第 n 项的总和，记作 Sₙ。当 r ≠ 1 时，可由 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r) 求得。
无穷等比级数: 将等比数列的各项无限累加所得到的和。仅当 |r| < 1 时，才会收敛为有限值 S∞ = a₁ / (1 − r)。
收敛: 随着项数不断增加，和或数值无限接近某一确定值的性质。等比数列在 |r| < 1 时前 n 项和是收敛的。
发散: 即使项数不断增加，和也不会趋近某个固定值，而是无限增大或持续振荡的性质。等比数列在 |r| ≥ 1 时是发散的。

常见问题

仅当 |r| < 1 时，S∞ = a₁ / (1 − r) 收敛为有限值。|r| ≥ 1 时，各项不会足够快地趋向 0，级数发散（趋向无穷或振荡）。

公比为负（例如 r = −2）时，各项符号交替变化，形成振荡数列。例如 a₁=1、r=−2 时，数列为 1, −2, 4, −8, 16, …

设 S = a₁ + a₁r + … + a₁r^(n−1)，两边乘以 r 得 rS = a₁r + … + a₁rⁿ，相减得 S − rS = a₁ − a₁rⁿ，即 S(1−r) = a₁(1−rⁿ)，因此 Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r)。

闲话 ― 无穷等比级数与折纸世界纪录

「把一张纸不断对折，要多少次才能达到月球那么厚？」这个看似荒诞的问题，恰好可以用等比数列来回答，而答案的悬殊程度，很能说明指数增长有多么反直觉。设纸张厚度为 0.1 mm，对折 n 次后厚度就是 0.1 × 2ⁿ mm。月球距离地球约 384,400 km ≈ 3.844 × 10¹¹ mm，两相对照就会发现，理论上只需要 对折 42 次就足够了（因为 2⁴² ≈ 4.4 × 10¹²）。

然而现实远没有这么轻松。这是因为纸张越折越厚、越折越硬，普通尺寸的纸张顶多能对折 7～8 次就再也折不动了。为了突破这个极限，2012 年一位名叫 Britney Gallivan 的高中生使用特制的超长纸张，一路挑战到了 对折 12 次，创下了当时的世界纪录——这个数字听起来朴素，却已经是绝大多数人凭直觉难以想象的极限。

这个故事之所以有趣，正是因为它凸显了等比数列「看似缓慢、实则加速」的本质：前几次对折带来的厚度变化微不足道，但只要公比大于 1，增长就会在不知不觉间变得惊人。同样的道理也出现在复利计算、病毒式传播乃至芯片性能提升等现象中——理解等比数列，就是理解为什么「指数增长」总是比我们的直觉快得多。

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