等比数列计算器（aₙ = a₁·rⁿ⁻¹）
输入首项 a₁ 和公比 r，自动计算等比数列的通项、前 n 项和以及无穷等比级数（|r|<1 时）。含项数表格和条形图可视化。
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提示
- 公比 r > 1 时数列急剧增长，0 < r < 1 时趋向 0，r < 0 时各项符号交替变化（振荡数列）。
- 当 |r| < 1 时，无穷项之和收敛到 S∞ = a₁ / (1 − r)。例如 a₁=1、r=1/2 时，S∞ = 2。
- 第 n 项为 aₙ = a₁ · r^(n−1)，前 n 项和为 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r)（r ≠ 1 时）。
- 图表以条形显示各项。公比较大时条形急剧增高，建议使用 r = 1.1～1.5 左右的值来直观感受增长趋势。
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常见问题
仅当 |r| < 1 时，S∞ = a₁ / (1 − r) 收敛为有限值。|r| ≥ 1 时，各项不会足够快地趋向 0，级数发散（趋向无穷或振荡）。
公比为负（例如 r = −2）时，各项符号交替变化，形成振荡数列。例如 a₁=1、r=−2 时，数列为 1, −2, 4, −8, 16, …
设 S = a₁ + a₁r + … + a₁r^(n−1)，两边乘以 r 得 rS = a₁r + … + a₁rⁿ，相减得 S − rS = a₁ − a₁rⁿ，即 S(1−r) = a₁(1−rⁿ)，因此 Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r)。
闲话 ― 无穷等比级数与折纸世界纪录
「把一张纸不断对折，要多少次才能达到月球那么厚？」这个看似荒诞的问题，恰好可以用等比数列来回答，而答案的悬殊程度，很能说明指数增长有多么反直觉。设纸张厚度为 0.1 mm，对折 n 次后厚度就是 0.1 × 2ⁿ mm。月球距离地球约 384,400 km ≈ 3.844 × 10¹¹ mm，两相对照就会发现，理论上只需要 对折 42 次就足够了（因为 2⁴² ≈ 4.4 × 10¹²）。
然而现实远没有这么轻松。这是因为纸张越折越厚、越折越硬，普通尺寸的纸张顶多能对折 7～8 次就再也折不动了。为了突破这个极限，2012 年一位名叫 Britney Gallivan 的高中生使用特制的超长纸张，一路挑战到了 对折 12 次，创下了当时的世界纪录——这个数字听起来朴素，却已经是绝大多数人凭直觉难以想象的极限。
这个故事之所以有趣，正是因为它凸显了等比数列「看似缓慢、实则加速」的本质：前几次对折带来的厚度变化微不足道，但只要公比大于 1，增长就会在不知不觉间变得惊人。同样的道理也出现在复利计算、病毒式传播乃至芯片性能提升等现象中——理解等比数列，就是理解为什么「指数增长」总是比我们的直觉快得多。
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