Primfaktorzerlegung Rechner & Tool — Kostenlose Online-Seite (bis 1.000.000)
Kostenlose Seite und kostenloser Rechner zur Primfaktorzerlegung. Geben Sie eine ganze Zahl von 2 bis 1.000.000 ein, auch eine konkrete wie 12.825, und dieses Tool zeigt die Division Schritt für Schritt, Teiler, Teileranzahl und -summe sowie eine Tabelle von 1–100.
Primfaktorzerlegung: Tabelle 1–100
Referenztabelle mit der Primfaktorzerlegung jeder ganzen Zahl von 1 bis 100. Primzahlen sind grün hervorgehoben.
| N | Zerlegung | Primzahl? |
|---|---|---|
| 1 | 1 | — |
| 2 | 2 | Primzahl |
| 3 | 3 | Primzahl |
| 4 | 2² | — |
| 5 | 5 | Primzahl |
| 6 | 2 × 3 | — |
| 7 | 7 | Primzahl |
| 8 | 2³ | — |
| 9 | 3² | — |
| 10 | 2 × 5 | — |
| 11 | 11 | Primzahl |
| 12 | 2² × 3 | — |
| 13 | 13 | Primzahl |
| 14 | 2 × 7 | — |
| 15 | 3 × 5 | — |
| 16 | 2⁴ | — |
| 17 | 17 | Primzahl |
| 18 | 2 × 3² | — |
| 19 | 19 | Primzahl |
| 20 | 2² × 5 | — |
| 21 | 3 × 7 | — |
| 22 | 2 × 11 | — |
| 23 | 23 | Primzahl |
| 24 | 2³ × 3 | — |
| 25 | 5² | — |
| 26 | 2 × 13 | — |
| 27 | 3³ | — |
| 28 | 2² × 7 | — |
| 29 | 29 | Primzahl |
| 30 | 2 × 3 × 5 | — |
| 31 | 31 | Primzahl |
| 32 | 2⁵ | — |
| 33 | 3 × 11 | — |
| 34 | 2 × 17 | — |
| 35 | 5 × 7 | — |
| 36 | 2² × 3² | — |
| 37 | 37 | Primzahl |
| 38 | 2 × 19 | — |
| 39 | 3 × 13 | — |
| 40 | 2³ × 5 | — |
| 41 | 41 | Primzahl |
| 42 | 2 × 3 × 7 | — |
| 43 | 43 | Primzahl |
| 44 | 2² × 11 | — |
| 45 | 3² × 5 | — |
| 46 | 2 × 23 | — |
| 47 | 47 | Primzahl |
| 48 | 2⁴ × 3 | — |
| 49 | 7² | — |
| 50 | 2 × 5² | — |
| 51 | 3 × 17 | — |
| 52 | 2² × 13 | — |
| 53 | 53 | Primzahl |
| 54 | 2 × 3³ | — |
| 55 | 5 × 11 | — |
| 56 | 2³ × 7 | — |
| 57 | 3 × 19 | — |
| 58 | 2 × 29 | — |
| 59 | 59 | Primzahl |
| 60 | 2² × 3 × 5 | — |
| 61 | 61 | Primzahl |
| 62 | 2 × 31 | — |
| 63 | 3² × 7 | — |
| 64 | 2⁶ | — |
| 65 | 5 × 13 | — |
| 66 | 2 × 3 × 11 | — |
| 67 | 67 | Primzahl |
| 68 | 2² × 17 | — |
| 69 | 3 × 23 | — |
| 70 | 2 × 5 × 7 | — |
| 71 | 71 | Primzahl |
| 72 | 2³ × 3² | — |
| 73 | 73 | Primzahl |
| 74 | 2 × 37 | — |
| 75 | 3 × 5² | — |
| 76 | 2² × 19 | — |
| 77 | 7 × 11 | — |
| 78 | 2 × 3 × 13 | — |
| 79 | 79 | Primzahl |
| 80 | 2⁴ × 5 | — |
| 81 | 3⁴ | — |
| 82 | 2 × 41 | — |
| 83 | 83 | Primzahl |
| 84 | 2² × 3 × 7 | — |
| 85 | 5 × 17 | — |
| 86 | 2 × 43 | — |
| 87 | 3 × 29 | — |
| 88 | 2³ × 11 | — |
| 89 | 89 | Primzahl |
| 90 | 2 × 3² × 5 | — |
| 91 | 7 × 13 | — |
| 92 | 2² × 23 | — |
| 93 | 3 × 31 | — |
| 94 | 2 × 47 | — |
| 95 | 5 × 19 | — |
| 96 | 2⁵ × 3 | — |
| 97 | 97 | Primzahl |
| 98 | 2 × 7² | — |
| 99 | 3² × 11 | — |
| 100 | 2² × 5² | — |
Was ist die Primfaktorzerlegung?
Die Primfaktorzerlegung ist die Operation, eine ganze Zahl ab 2 in ein Produkt ausschließlich aus Primzahlen zu zerlegen. Geben Sie eine beliebige ganze Zahl von 1 bis 1.000.000 ein, und dieses Werkzeug ermittelt automatisch die Schritte der Zerlegung, die vollständige Liste der Teiler sowie deren Anzahl und Summe. Auch große Zahlen, die von Hand einige Zeit kosten würden, werden augenblicklich zerlegt.
Das Ergebnis entsteht durch Probedivision, und die Zwischenschritte werden mit angezeigt – so eignet es sich auch, um Kopfrechnen oder Rechnungen auf Papier zu prüfen. Es passt zu ganz verschiedenen Anlässen: Mathe-Hausaufgaben, das Nachrechnen von Prüfungsantworten und das Studium der Kryptografie gehören dazu.
So verwenden Sie den Primfaktorzerlegungs-Rechner
- Eine ganze Zahl N eingeben Tippen Sie eine ganze Zahl von mindestens 2 und höchstens 1.000.000 in das Eingabefeld.
- Die Zerlegung prüfen Das Produkt der Primfaktoren wird gezeigt, dazu die Zwischenschritte der Zerlegung.
- Die Teilerangaben prüfen Die Liste der Teiler, ihre Anzahl und ihre Summe werden alle automatisch berechnet.
- Weitere Zahlen in der Übersicht nachschlagen Die Übersicht von 1 bis 100 zeigt Ihnen die Primfaktorzerlegung anderer ganzer Zahlen auf einen Blick.
Tipps für die Nutzung
- Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung von N als Produkt von Primzahlen. Beispiel: 360 = 2³ × 3² × 5. Der Fundamentalsatz der Arithmetik garantiert, dass diese Darstellung (bis auf die Reihenfolge) eindeutig ist.
- Die Teileranzahl ergibt sich direkt aus der Zerlegung. Für N = p₁^e₁ × p₂^e₂ × … gilt: Teileranzahl = (e₁+1)(e₂+1)… Beispiel: 12 = 2² × 3 → (2+1)(1+1) = 6 Teiler.
- Die Teilersumme ist σ(N) = (1+p₁+…+p₁^e₁)(1+p₂+…+p₂^e₂)… Beispiel: 12 → (1+2+4)(1+3) = 7 × 4 = 28.
- Der einfachste Faktorisierungsalgorithmus ist die Probedivision: Teile durch jede ganze Zahl von 2 bis √N. Für N ≤ 1.000.000 sind maximal 1000 Divisionen nötig — schnell genug für die Echtzeit-Nutzung.
Wann die Primfaktorzerlegung nützlich ist
Mathe-Hausaufgaben und Prüfungsvorbereitung
Prüfen Sie damit Ihre Antworten, und ein Rechenfehler in der Zwischenrechnung fällt Ihnen sofort auf.
ggT und kgV verstehen
Zerlegen Sie mehrere Zahlen und vergleichen Sie sie – so wird sichtbar, wie größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches entstehen.
Prüfen, ob ein Bruch vollständig gekürzt ist
Zerlegen Sie Zähler und Nenner getrennt, finden Sie die gemeinsamen Primfaktoren und bestätigen Sie, dass Sie richtig gekürzt haben.
Kryptografie studieren
Wenn Sie Verfahren wie RSA kennenlernen, die auf der Schwierigkeit der Zerlegung beruhen, gibt Ihnen das Durchrechnen von Hand ein Gefühl für das Problem.
Glossar zur Primfaktorzerlegung
- Primzahl
- Eine ganze Zahl ab 2 ohne andere Teiler als 1 und sich selbst. Sie lauten 2, 3, 5, 7, 11 … und es gibt unendlich viele davon.
- Primfaktor
- Eine Primzahl, die eine gegebene ganze Zahl ohne Rest teilt. Die Primfaktoren von 12 etwa sind 2 und 3.
- Zusammengesetzte Zahl
- Eine ganze Zahl ab 2, die keine Primzahl ist. Sie lässt sich als Produkt von zwei oder mehr Primzahlen ausdrücken.
- Exponent
- Die Zahl, die angibt, wie oft derselbe Primfaktor multipliziert wird. In 360 = 2³ × 3² × 5 ist der Exponent von 2 gleich 3.
- Fundamentalsatz der Arithmetik
- Der Satz, dass jede ganze Zahl größer als 1 eine Primfaktorzerlegung besitzt, die bis auf die Reihenfolge eindeutig ist.
Häufige Fragen
Übrigens – RSA-Verschlüsselung und die Schwierigkeit der Faktorisierung
Die RSA-Verschlüsselung — die HTTPS, E-Mail und digitale Signaturen absichert — beruht auf der Asymmetrie zwischen Multiplikation und Faktorisierung. Zwei große Primzahlen zu multiplizieren (je ca. 1024 Bit) dauert Millisekunden; das Produkt wieder in diese zwei Primzahlen zu zerlegen, ist mit heutiger Technologie rechnerisch nicht machbar.
Ein 2048-Bit-RSA-Modul mit den besten bekannten klassischen Algorithmen zu faktorisieren, würde länger dauern als das Alter des Universums. Diese Asymmetrie — "leicht zu multiplizieren, schwer zu faktorisieren" — ist das mathematische Herzstück der Public-Key-Kryptographie. Quantencomputer (Shor's Algorithmus) würden RSA brechen, weshalb Post-Quanten-Kryptographie ein aktives Forschungsgebiet ist.