質因數分解計算器（免費線上工具，2至1,000,000）
免費線上工具，立即將任意整數 N（2〜1,000,000）分解為質因數。顯示逐步除法過程、因數列表、因數個數及因數和。附1〜100質因數分解速查表。
1〜100 質因數分解速查表
列出1至100每個整數的質因數分解。質數以綠色標籤顯示。
| N | 質因數分解 | 質數？ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | — |
| 2 | 2 | 質數 |
| 3 | 3 | 質數 |
| 4 | 2² | — |
| 5 | 5 | 質數 |
| 6 | 2 × 3 | — |
| 7 | 7 | 質數 |
| 8 | 2³ | — |
| 9 | 3² | — |
| 10 | 2 × 5 | — |
| 11 | 11 | 質數 |
| 12 | 2² × 3 | — |
| 13 | 13 | 質數 |
| 14 | 2 × 7 | — |
| 15 | 3 × 5 | — |
| 16 | 2⁴ | — |
| 17 | 17 | 質數 |
| 18 | 2 × 3² | — |
| 19 | 19 | 質數 |
| 20 | 2² × 5 | — |
| 21 | 3 × 7 | — |
| 22 | 2 × 11 | — |
| 23 | 23 | 質數 |
| 24 | 2³ × 3 | — |
| 25 | 5² | — |
| 26 | 2 × 13 | — |
| 27 | 3³ | — |
| 28 | 2² × 7 | — |
| 29 | 29 | 質數 |
| 30 | 2 × 3 × 5 | — |
| 31 | 31 | 質數 |
| 32 | 2⁵ | — |
| 33 | 3 × 11 | — |
| 34 | 2 × 17 | — |
| 35 | 5 × 7 | — |
| 36 | 2² × 3² | — |
| 37 | 37 | 質數 |
| 38 | 2 × 19 | — |
| 39 | 3 × 13 | — |
| 40 | 2³ × 5 | — |
| 41 | 41 | 質數 |
| 42 | 2 × 3 × 7 | — |
| 43 | 43 | 質數 |
| 44 | 2² × 11 | — |
| 45 | 3² × 5 | — |
| 46 | 2 × 23 | — |
| 47 | 47 | 質數 |
| 48 | 2⁴ × 3 | — |
| 49 | 7² | — |
| 50 | 2 × 5² | — |
| 51 | 3 × 17 | — |
| 52 | 2² × 13 | — |
| 53 | 53 | 質數 |
| 54 | 2 × 3³ | — |
| 55 | 5 × 11 | — |
| 56 | 2³ × 7 | — |
| 57 | 3 × 19 | — |
| 58 | 2 × 29 | — |
| 59 | 59 | 質數 |
| 60 | 2² × 3 × 5 | — |
| 61 | 61 | 質數 |
| 62 | 2 × 31 | — |
| 63 | 3² × 7 | — |
| 64 | 2⁶ | — |
| 65 | 5 × 13 | — |
| 66 | 2 × 3 × 11 | — |
| 67 | 67 | 質數 |
| 68 | 2² × 17 | — |
| 69 | 3 × 23 | — |
| 70 | 2 × 5 × 7 | — |
| 71 | 71 | 質數 |
| 72 | 2³ × 3² | — |
| 73 | 73 | 質數 |
| 74 | 2 × 37 | — |
| 75 | 3 × 5² | — |
| 76 | 2² × 19 | — |
| 77 | 7 × 11 | — |
| 78 | 2 × 3 × 13 | — |
| 79 | 79 | 質數 |
| 80 | 2⁴ × 5 | — |
| 81 | 3⁴ | — |
| 82 | 2 × 41 | — |
| 83 | 83 | 質數 |
| 84 | 2² × 3 × 7 | — |
| 85 | 5 × 17 | — |
| 86 | 2 × 43 | — |
| 87 | 3 × 29 | — |
| 88 | 2³ × 11 | — |
| 89 | 89 | 質數 |
| 90 | 2 × 3² × 5 | — |
| 91 | 7 × 13 | — |
| 92 | 2² × 23 | — |
| 93 | 3 × 31 | — |
| 94 | 2 × 47 | — |
| 95 | 5 × 19 | — |
| 96 | 2⁵ × 3 | — |
| 97 | 97 | 質數 |
| 98 | 2 × 7² | — |
| 99 | 3² × 11 | — |
| 100 | 2² × 5² | — |
提示
- 質因數分解是將整數 N 表示為質數之積。例如：360 = 2³ × 3² × 5。算術基本定理保證此表示方式（忽略順序）是唯一的。
- 由質因數分解可以直接得出因數個數。若 N = p₁^e₁ × p₂^e₂ × …，則因數個數 = (e₁+1)(e₂+1)…。例如：12 = 2² × 3 → (2+1)(1+1) = 6 個因數。
- 因數之和 σ(N) = (1+p₁+…+p₁^e₁)(1+p₂+…+p₂^e₂)…。例如：12 → (1+2+4)(1+3) = 7 × 4 = 28。
- 最簡單的分解演算法是試除法：從 2 開始依次除到 √N。對於 N ≤ 1,000,000，最多隻需 1000 次除法，可即時完成。
常見問題
是的——這就是算術基本定理。每個大於 1 的整數都有唯一的質因數分解（忽略順序）。例如，12 = 2² × 3 是將 12 寫成質數之積的唯一方式。
若 N = p₁^e₁ × p₂^e₂ × …，則每個因數由選擇各質因數 pᵢ 的 0 到 eᵢ 個組成。p₁ 有 (e₁+1) 種選法，p₂ 有 (e₂+1) 種……因此共有 (e₁+1)(e₂+1)… 個因數。
完全數等於其真因數（除自身外的所有因數）之和。最小的完全數是 6（1+2+3=6），其次是 28（1+2+4+7+14=28）。完全數是否有無窮多個至今仍是數學未解之謎。
閒話 ― RSA 加密與質因數分解的難度
把一個數分解成質因數的乘積，聽起來像是最基礎的算術練習，但這項看似樸素的運算，卻在過去幾十年間意外地成為了保護整個網際網路安全的基石。這背後的秘密其實很簡單——正向計算容易，反向計算卻極其困難。
保護 HTTPS 通訊和數字簽名的RSA 加密正是建立在這種不對稱性之上：將兩個各約 1024 位的大質數相乘，普通電腦只需要幾毫秒；但反過來，把這個乘積重新分解回原來的兩個質因數，即便動用現有的計算技術也幾乎不可行。RSA 的設計者巧妙地把"質因數分解很難"這一數學事實，轉化成了一把只有持有私鑰的人才能開啟的鎖。
以目前已知的最佳經典演算法來看，分解一個 2048 位的 RSA 模數所需的時間，將遠遠超過宇宙誕生至今的年齡——這也是為什麼 RSA 至今仍被廣泛信任。不過，這份安全感並非永恆：量子計算機藉助Shor 演算法，理論上可以在多項式時間內完成質因數分解，一旦大規模、穩定的量子計算機成為現實，RSA 體系就將面臨被攻破的風險。正因如此，"後量子密碼學"才成為了當下密碼學界最活躍的研究方向之一，各國研究機構都在爭分奪秒地尋找能抵禦量子攻擊的新一代加密方案。