質因數分解計算器・線上工具・網站（免費，2至1,000,000）
免費的質因數分解計算網站。輸入任意整數（2〜1,000,000，例如具體的12825），即可立即用這款計算工具分解為質因數，顯示除法步驟、因數列表、因數個數及因數和，並附1〜100質因數分解速查表。
1〜100 質因數分解速查表
列出1至100每個整數的質因數分解。質數以綠色標籤顯示。
| N | 質因數分解 | 質數？ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | — |
| 2 | 2 | 質數 |
| 3 | 3 | 質數 |
| 4 | 2² | — |
| 5 | 5 | 質數 |
| 6 | 2 × 3 | — |
| 7 | 7 | 質數 |
| 8 | 2³ | — |
| 9 | 3² | — |
| 10 | 2 × 5 | — |
| 11 | 11 | 質數 |
| 12 | 2² × 3 | — |
| 13 | 13 | 質數 |
| 14 | 2 × 7 | — |
| 15 | 3 × 5 | — |
| 16 | 2⁴ | — |
| 17 | 17 | 質數 |
| 18 | 2 × 3² | — |
| 19 | 19 | 質數 |
| 20 | 2² × 5 | — |
| 21 | 3 × 7 | — |
| 22 | 2 × 11 | — |
| 23 | 23 | 質數 |
| 24 | 2³ × 3 | — |
| 25 | 5² | — |
| 26 | 2 × 13 | — |
| 27 | 3³ | — |
| 28 | 2² × 7 | — |
| 29 | 29 | 質數 |
| 30 | 2 × 3 × 5 | — |
| 31 | 31 | 質數 |
| 32 | 2⁵ | — |
| 33 | 3 × 11 | — |
| 34 | 2 × 17 | — |
| 35 | 5 × 7 | — |
| 36 | 2² × 3² | — |
| 37 | 37 | 質數 |
| 38 | 2 × 19 | — |
| 39 | 3 × 13 | — |
| 40 | 2³ × 5 | — |
| 41 | 41 | 質數 |
| 42 | 2 × 3 × 7 | — |
| 43 | 43 | 質數 |
| 44 | 2² × 11 | — |
| 45 | 3² × 5 | — |
| 46 | 2 × 23 | — |
| 47 | 47 | 質數 |
| 48 | 2⁴ × 3 | — |
| 49 | 7² | — |
| 50 | 2 × 5² | — |
| 51 | 3 × 17 | — |
| 52 | 2² × 13 | — |
| 53 | 53 | 質數 |
| 54 | 2 × 3³ | — |
| 55 | 5 × 11 | — |
| 56 | 2³ × 7 | — |
| 57 | 3 × 19 | — |
| 58 | 2 × 29 | — |
| 59 | 59 | 質數 |
| 60 | 2² × 3 × 5 | — |
| 61 | 61 | 質數 |
| 62 | 2 × 31 | — |
| 63 | 3² × 7 | — |
| 64 | 2⁶ | — |
| 65 | 5 × 13 | — |
| 66 | 2 × 3 × 11 | — |
| 67 | 67 | 質數 |
| 68 | 2² × 17 | — |
| 69 | 3 × 23 | — |
| 70 | 2 × 5 × 7 | — |
| 71 | 71 | 質數 |
| 72 | 2³ × 3² | — |
| 73 | 73 | 質數 |
| 74 | 2 × 37 | — |
| 75 | 3 × 5² | — |
| 76 | 2² × 19 | — |
| 77 | 7 × 11 | — |
| 78 | 2 × 3 × 13 | — |
| 79 | 79 | 質數 |
| 80 | 2⁴ × 5 | — |
| 81 | 3⁴ | — |
| 82 | 2 × 41 | — |
| 83 | 83 | 質數 |
| 84 | 2² × 3 × 7 | — |
| 85 | 5 × 17 | — |
| 86 | 2 × 43 | — |
| 87 | 3 × 29 | — |
| 88 | 2³ × 11 | — |
| 89 | 89 | 質數 |
| 90 | 2 × 3² × 5 | — |
| 91 | 7 × 13 | — |
| 92 | 2² × 23 | — |
| 93 | 3 × 31 | — |
| 94 | 2 × 47 | — |
| 95 | 5 × 19 | — |
| 96 | 2⁵ × 3 | — |
| 97 | 97 | 質數 |
| 98 | 2 × 7² | — |
| 99 | 3² × 11 | — |
| 100 | 2² × 5² | — |
質因數分解是什麼
質因數分解是將2以上的整數分解為僅由質數相乘之形式的操作。本工具只需輸入1至100萬的整數，即會自動計算分解的步驟、因數的一覽，以及因數的個數與總和。手算需要花時間的大數分解也能瞬間確認。
結果以試除法的程序求得，並會顯示中間過程，因此也可用於心算或手算的對答案。可廣泛運用於數學作業、考試的驗算、密碼技術的學習等場合。
質因數分解計算機的使用方法
- 輸入整數N 在輸入欄輸入2以上、100萬以下的整數。
- 確認分解結果 會顯示質因數相乘的形式，以及分解的中間過程。
- 確認因數的資訊 因數的一覽、個數與總和都會自動計算。
- 以速查表查詢其他數 可由1～100的速查表，一覽確認其他整數的質因數分解。
用好本工具的小技巧
- 質因數分解是將整數 N 表示為質數之積。例如：360 = 2³ × 3² × 5。算術基本定理保證此表示方式（忽略順序）是唯一的。
- 由質因數分解可以直接得出因數個數。若 N = p₁^e₁ × p₂^e₂ × …，則因數個數 = (e₁+1)(e₂+1)…。例如：12 = 2² × 3 → (2+1)(1+1) = 6 個因數。
- 因數之和 σ(N) = (1+p₁+…+p₁^e₁)(1+p₂+…+p₂^e₂)…。例如：12 → (1+2+4)(1+3) = 7 × 4 = 28。
- 最簡單的分解演算法是試除法：從 2 開始依次除到 √N。對於 N ≤ 1,000,000，最多隻需 1000 次除法，可即時完成。
質因數分解計算機的實用場景
數學作業與考試準備
用於質因數分解的對答案，能立即察覺中間算式的計算失誤。
最大公因數與最小公倍數的理解
將多個數分別質因數分解後比較，即可直觀看出最大公因數與最小公倍數是如何求得的。
分數約分的確認
將分子與分母分別質因數分解，即可找出共同的質因數，確認是否已正確約分。
密碼技術的學習
在學習 RSA 加密等利用質因數分解困難度的技術時，可實際動手掌握分解的感覺。
質因數分解的術語
- 質數
- 指除了1與自身以外沒有因數的、2以上的整數。有2, 3, 5, 7, 11…無限多個。
- 質因數
- 指能整除某個整數的質數。例如12的質因數為2與3。
- 合數
- 指並非質數的2以上整數。可表示為兩個以上質數的乘積。
- 指數（冪指數）
- 指表示同一質因數被乘了幾次的數。在 360 = 2³ × 3² × 5 中，2的指數為3。
- 算術基本定理
- 指所有大於1的整數，除順序之外皆可唯一地進行質因數分解的定理。
常見問題
閒話 ― RSA 加密與質因數分解的難度
把一個數分解成質因數的乘積，聽起來像是最基礎的算術練習，但這項看似樸素的運算，卻在過去幾十年間意外地成為了保護整個網際網路安全的基石。這背後的秘密其實很簡單——正向計算容易，反向計算卻極其困難。
保護 HTTPS 通訊和數字簽名的RSA 加密正是建立在這種不對稱性之上：將兩個各約 1024 位的大質數相乘，普通電腦只需要幾毫秒；但反過來，把這個乘積重新分解回原來的兩個質因數，即便動用現有的計算技術也幾乎不可行。RSA 的設計者巧妙地把"質因數分解很難"這一數學事實，轉化成了一把只有持有私鑰的人才能開啟的鎖。
以目前已知的最佳經典演算法來看，分解一個 2048 位的 RSA 模數所需的時間，將遠遠超過宇宙誕生至今的年齡——這也是為什麼 RSA 至今仍被廣泛信任。不過，這份安全感並非永恆：量子計算機藉助Shor 演算法，理論上可以在多項式時間內完成質因數分解，一旦大規模、穩定的量子計算機成為現實，RSA 體系就將面臨被攻破的風險。正因如此，"後量子密碼學"才成為了當下密碼學界最活躍的研究方向之一，各國研究機構都在爭分奪秒地尋找能抵禦量子攻擊的新一代加密方案。