质因数分解计算器（免费在线工具，2至1,000,000）
免费在线工具，立即将任意整数 N（2〜1,000,000）分解为质因数。显示逐步除法过程、因数列表、因数个数及因数和。附1〜100质因数分解速查表。
1〜100 质因数分解速查表
列出1至100每个整数的质因数分解。质数以绿色标签显示。
| N | 质因数分解 | 质数？ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | — |
| 2 | 2 | 质数 |
| 3 | 3 | 质数 |
| 4 | 2² | — |
| 5 | 5 | 质数 |
| 6 | 2 × 3 | — |
| 7 | 7 | 质数 |
| 8 | 2³ | — |
| 9 | 3² | — |
| 10 | 2 × 5 | — |
| 11 | 11 | 质数 |
| 12 | 2² × 3 | — |
| 13 | 13 | 质数 |
| 14 | 2 × 7 | — |
| 15 | 3 × 5 | — |
| 16 | 2⁴ | — |
| 17 | 17 | 质数 |
| 18 | 2 × 3² | — |
| 19 | 19 | 质数 |
| 20 | 2² × 5 | — |
| 21 | 3 × 7 | — |
| 22 | 2 × 11 | — |
| 23 | 23 | 质数 |
| 24 | 2³ × 3 | — |
| 25 | 5² | — |
| 26 | 2 × 13 | — |
| 27 | 3³ | — |
| 28 | 2² × 7 | — |
| 29 | 29 | 质数 |
| 30 | 2 × 3 × 5 | — |
| 31 | 31 | 质数 |
| 32 | 2⁵ | — |
| 33 | 3 × 11 | — |
| 34 | 2 × 17 | — |
| 35 | 5 × 7 | — |
| 36 | 2² × 3² | — |
| 37 | 37 | 质数 |
| 38 | 2 × 19 | — |
| 39 | 3 × 13 | — |
| 40 | 2³ × 5 | — |
| 41 | 41 | 质数 |
| 42 | 2 × 3 × 7 | — |
| 43 | 43 | 质数 |
| 44 | 2² × 11 | — |
| 45 | 3² × 5 | — |
| 46 | 2 × 23 | — |
| 47 | 47 | 质数 |
| 48 | 2⁴ × 3 | — |
| 49 | 7² | — |
| 50 | 2 × 5² | — |
| 51 | 3 × 17 | — |
| 52 | 2² × 13 | — |
| 53 | 53 | 质数 |
| 54 | 2 × 3³ | — |
| 55 | 5 × 11 | — |
| 56 | 2³ × 7 | — |
| 57 | 3 × 19 | — |
| 58 | 2 × 29 | — |
| 59 | 59 | 质数 |
| 60 | 2² × 3 × 5 | — |
| 61 | 61 | 质数 |
| 62 | 2 × 31 | — |
| 63 | 3² × 7 | — |
| 64 | 2⁶ | — |
| 65 | 5 × 13 | — |
| 66 | 2 × 3 × 11 | — |
| 67 | 67 | 质数 |
| 68 | 2² × 17 | — |
| 69 | 3 × 23 | — |
| 70 | 2 × 5 × 7 | — |
| 71 | 71 | 质数 |
| 72 | 2³ × 3² | — |
| 73 | 73 | 质数 |
| 74 | 2 × 37 | — |
| 75 | 3 × 5² | — |
| 76 | 2² × 19 | — |
| 77 | 7 × 11 | — |
| 78 | 2 × 3 × 13 | — |
| 79 | 79 | 质数 |
| 80 | 2⁴ × 5 | — |
| 81 | 3⁴ | — |
| 82 | 2 × 41 | — |
| 83 | 83 | 质数 |
| 84 | 2² × 3 × 7 | — |
| 85 | 5 × 17 | — |
| 86 | 2 × 43 | — |
| 87 | 3 × 29 | — |
| 88 | 2³ × 11 | — |
| 89 | 89 | 质数 |
| 90 | 2 × 3² × 5 | — |
| 91 | 7 × 13 | — |
| 92 | 2² × 23 | — |
| 93 | 3 × 31 | — |
| 94 | 2 × 47 | — |
| 95 | 5 × 19 | — |
| 96 | 2⁵ × 3 | — |
| 97 | 97 | 质数 |
| 98 | 2 × 7² | — |
| 99 | 3² × 11 | — |
| 100 | 2² × 5² | — |
广告
提示
- 质因数分解是将整数 N 表示为质数之积。例如：360 = 2³ × 3² × 5。算术基本定理保证此表示方式（忽略顺序）是唯一的。
- 由质因数分解可以直接得出因数个数。若 N = p₁^e₁ × p₂^e₂ × …，则因数个数 = (e₁+1)(e₂+1)…。例如：12 = 2² × 3 → (2+1)(1+1) = 6 个因数。
- 因数之和 σ(N) = (1+p₁+…+p₁^e₁)(1+p₂+…+p₂^e₂)…。例如：12 → (1+2+4)(1+3) = 7 × 4 = 28。
- 最简单的分解算法是试除法：从 2 开始依次除到 √N。对于 N ≤ 1,000,000，最多只需 1000 次除法，可实时完成。
广告
常见问题
是的——这就是算术基本定理。每个大于 1 的整数都有唯一的质因数分解（忽略顺序）。例如，12 = 2² × 3 是将 12 写成质数之积的唯一方式。
若 N = p₁^e₁ × p₂^e₂ × …，则每个因数由选择各质因数 pᵢ 的 0 到 eᵢ 个组成。p₁ 有 (e₁+1) 种选法，p₂ 有 (e₂+1) 种……因此共有 (e₁+1)(e₂+1)… 个因数。
完全数等于其真因数（除自身外的所有因数）之和。最小的完全数是 6（1+2+3=6），其次是 28（1+2+4+7+14=28）。完全数是否有无穷多个至今仍是数学未解之谜。
闲话 ― RSA 加密与质因数分解的难度
把一个数分解成质因数的乘积，听起来像是最基础的算术练习，但这项看似朴素的运算，却在过去几十年间意外地成为了保护整个互联网安全的基石。这背后的秘密其实很简单——正向计算容易，反向计算却极其困难。
保护 HTTPS 通信和数字签名的RSA 加密正是建立在这种不对称性之上：将两个各约 1024 位的大质数相乘，普通电脑只需要几毫秒；但反过来，把这个乘积重新分解回原来的两个质因数，即便动用现有的计算技术也几乎不可行。RSA 的设计者巧妙地把"质因数分解很难"这一数学事实，转化成了一把只有持有私钥的人才能打开的锁。
以目前已知的最佳经典算法来看，分解一个 2048 位的 RSA 模数所需的时间，将远远超过宇宙诞生至今的年龄——这也是为什么 RSA 至今仍被广泛信任。不过，这份安全感并非永恒：量子计算机借助Shor 算法，理论上可以在多项式时间内完成质因数分解，一旦大规模、稳定的量子计算机成为现实，RSA 体系就将面临被攻破的风险。正因如此，"后量子密码学"才成为了当下密码学界最活跃的研究方向之一，各国研究机构都在争分夺秒地寻找能抵御量子攻击的新一代加密方案。
广告