Traceur et calculateur de fonction cubique — Inflexion et extrema

Tracez gratuitement y = ax³ + bx² + cx + d en saisissant a–d. Calculez instantanément le point d'inflexion, le maximum et le minimum locaux.

Dernière mise à jour : 2026-09-08

Qu'est-ce que le graphe d'une fonction cubique

Une fonction cubique s'écrit y = ax³ + bx² + cx + d, et tire son nom du fait que le plus haut degré de x est trois. Contrairement à la parabole symétrique d'une fonction quadratique, sa courbe n'est pas symétrique, et le signe de a détermine la direction générale : s'il est positif, la courbe monte de bas-gauche à haut-droite ; s'il est négatif, elle descend de haut-gauche à bas-droite, dessinant une courbe en forme de S qui peut comporter au plus un maximum local et un minimum local. Fixer a à zéro fait disparaître le terme cubique et laisse une fonction de degré inférieur, c'est pourquoi cet outil exige que a soit non nul.

Cet outil trace la courbe à partir de quatre coefficients et calcule ensemble le point d'inflexion, le maximum local et le minimum local. Un point d'inflexion, là où la concavité change, existe toujours, mais l'existence même d'un maximum et d'un minimum locaux dépend du signe d'un discriminant : soit les deux existent, soit aucun n'existe et la fonction est simplement monotone. Modifier la plage de x affichée permet de zoomer autour du point d'inflexion ou de voir comment la courbe s'étend plus loin.

Comment utiliser le graphe cubique

Saisir les quatre coefficients Entrez a, b, c et d pour tracer la courbe. Si a est nul, il n'y a pas de fonction cubique, et une erreur s'affiche.
Définir la plage de x Indiquez xMin et xMax pour n'afficher que la portion voulue. Si xMin n'est pas inférieur à xMax, la plage n'est pas valide, et une erreur s'affiche.
Vérifier le point d'inflexion Les coordonnées du point où la concavité change s'affichent automatiquement, marquées sur le graphe par un losange orange.
Voir si des extrema existent Selon le signe du discriminant, le maximum et le minimum locaux s'affichent tous les deux, ou le graphe indique qu'aucun n'existe. Le vert marque le maximum, le violet le minimum.
Calculer y pour un x donné Saisissez un nombre dans le champ x et la valeur y correspondante est calculée, plus précisément que ce qu'on pourrait lire sur la courbe.

Astuces pour en tirer le meilleur parti

Le coefficient cubique a détermine la direction générale du graphe. Si a > 0, la courbe monte de bas-gauche à haut-droite ; si a < 0, elle descend de haut-gauche à bas-droite.
Le point d'inflexion est l'endroit où la concavité change. Son abscisse est x = −b ÷ (3a) et il est affiché comme un losange orange sur le graphe.
Les extrema locaux sont trouvés en résolvant dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0. Les maxima locaux apparaissent en vert, les minima en violet. Si le discriminant de cette équation est ≤ 0, il n'y a pas d'extremum et la fonction est monotone.
Par défaut : y = x³ − 3x (a=1, b=0, c=-3, d=0), un exemple classique avec maximum local en (−1, 2) et minimum local en (1, −2).

À quoi sert le graphe cubique

Étudier les dérivées et les tableaux de signes

Pour les exercices qui construisent un tableau de variations à partir de la dérivée première, la comparaison avec la courbe réelle approfondit la compréhension des maxima, minima et intervalles monotones.

Vérifier une factorisation par rapport au nombre de racines

Retracez la courbe en changeant les coefficients et vous verrez visuellement combien de fois elle coupe l'axe des x, utile pour vérifier le nombre de racines trouvées par factorisation.

Observer l'inversion de la concavité au point d'inflexion

Voir la courbe se courber dans un sens puis dans l'autre autour du point d'inflexion, à mesure que les coefficients changent, est un bon moyen de s'entraîner à lire le signe de la dérivée seconde.

Esquisser des modèles cubiques en économie ou en physique

Pour des phénomènes approchés par une cubique, comme un coût ou un volume qui varie, saisir les coefficients donne rapidement une idée de la forme générale.

Comparer avec des courbes d'autres degrés

Pour comparer avec un degré inférieur, utilisez le graphe quadratique ; pour comparer avec une droite, le graphe linéaire.

Termes liés aux fonctions cubiques

Fonction cubique: Une fonction de la forme y = ax³ + bx² + cx + d avec a non nul. Elle tire son nom du fait que le plus haut degré de x est trois.
Point d'inflexion: Le point où la concavité du graphe change. En posant la dérivée seconde d²y/dx² = 6ax + 2b égale à zéro, on obtient x = −b ÷ (3a) ; une fonction cubique en possède toujours exactement un.
Maximum et minimum locaux: Un sommet local, où y est plus grand qu'aux points voisins, et un creux local, où il est plus petit. On les trouve comme racines réelles de la dérivée première dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0.
Discriminant (des extrema): Le signe de (2b)² − 4(3a)c, le discriminant de la dérivée première, détermine si des extrema existent. Positif signifie que le maximum et le minimum locaux existent tous les deux ; nul ou négatif signifie qu'aucun n'existe et que la courbe est monotone.
Monotone croissante et décroissante: L'état dans lequel y ne cesse d'augmenter quand x augmente (monotone croissante), ou ne cesse de diminuer (monotone décroissante). Une cubique sans extremum local est toujours dans l'un de ces deux cas.
Factorisation: Réécrire l'expression cubique ax³ + bx² + cx + d sous forme de produit, comme (x − p)(x − q)(x − r). Les valeurs p, q et r correspondent aux abscisses où la courbe coupe l'axe des x.

Questions fréquentes

Un point d'inflexion est l'endroit où la concavité (direction de courbure) du graphe change. Pour y = ax³ + bx² + cx + d, on pose la dérivée seconde d²y/dx² = 6ax + 2b = 0 pour obtenir x = −b ÷ (3a). En ce point, la courbe passe de concave vers le bas à concave vers le haut (ou vice versa).

Un maximum local est un point où y est plus grand que dans les points voisins (un sommet local) ; un minimum local est un point où y est plus petit (un creux local). On les trouve en résolvant dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0 et en vérifiant le signe de la dérivée seconde (négatif → maximum, positif → minimum). Si le discriminant est ≤ 0, il n'y a pas d'extremum.

Oui. L'équation ax³ + bx² + cx + d = 0 (à coefficients réels) a toujours au moins une racine réelle. Par le théorème des valeurs intermédiaires, pour a > 0 : y → +∞ quand x → +∞ et y → −∞ quand x → −∞, donc le graphe doit croiser l'axe x au moins une fois.

La direction du graphe est inversée : au lieu de monter de bas-gauche à haut-droite, il descend de haut-gauche à bas-droite. Les extrema locaux se produisent aux mêmes abscisses, mais les valeurs y sont de signe opposé par rapport au cas a > 0.

Anecdote — La rivalité autour de la formule cubique

La solution générale des équations cubiques (formule de Cardan) a provoqué une âpre querelle entre mathématiciens italiens du XVIe siècle. Niccolò Tartaglia avait découvert une méthode de résolution et l'avait confiée à Gerolamo Cardan sous serment de secret. En 1545, Cardan la publia pourtant dans son Ars Magna, déclenchant la fureur de Tartaglia, qui l'accusa de plagiat.

Il est remarquable que la résolution d'équations cubiques ait contribué à l'invention des nombres complexes. Même lorsque l'équation n'a que des racines réelles, la formule de Cardan peut nécessiter des racines carrées de nombres négatifs lors des étapes intermédiaires. Rafael Bombelli montra qu'en traitant formellement ces « nombres imaginaires », on obtenait les solutions réelles correctes, posant ainsi les bases de la théorie des nombres complexes.

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