Gráfico e calculadora de função cúbica — Inflexão e extremos
Crie grátis o gráfico y = ax³ + bx² + cx + d informando a–d. Calcule na hora o ponto de inflexão, o máximo e o mínimo locais e confira coordenadas.
O que é o gráfico de uma função cúbica
Uma função cúbica é escrita y = ax³ + bx² + cx + d, recebendo esse nome porque o maior expoente de x é três. Diferente da parábola simétrica de uma função quadrática, sua curva não é simétrica, e o sinal de a determina a direção geral: se positivo, a curva sobe da esquerda-baixo para a direita-cima; se negativo, desce da esquerda-cima para a direita-baixo, traçando uma curva em forma de S que pode ter, no máximo, um máximo local e um mínimo local. Definir a como zero elimina o termo cúbico e resulta em uma função de grau menor, por isso esta ferramenta exige que a seja diferente de zero.
Esta ferramenta desenha a curva a partir de quatro coeficientes e calcula, ao mesmo tempo, o ponto de inflexão, o máximo local e o mínimo local. O ponto de inflexão, onde a concavidade muda, sempre existe, mas a existência de um máximo e um mínimo locais depende do sinal de um discriminante: ou ambos existem, ou nenhum existe e a função é simplesmente monótona. Alterar o intervalo de x exibido permite ampliar a região ao redor do ponto de inflexão ou ver como a curva se estende mais adiante.
Como usar o gráfico cúbico
- Informe os quatro coeficientes Digite a, b, c e d para desenhar a curva. Se a for zero, não há função cúbica, e um erro é exibido.
- Defina o intervalo de x Informe xMin e xMax para exibir apenas o trecho desejado. Se xMin não for menor que xMax, não há intervalo válido, e um erro é exibido.
- Confira o ponto de inflexão As coordenadas do ponto onde a concavidade muda são exibidas automaticamente, marcadas no gráfico com um losango laranja.
- Verifique se existem extremos Dependendo do sinal do discriminante, tanto o máximo quanto o mínimo locais são exibidos, ou o gráfico informa que nenhum existe. O verde marca o máximo e o roxo o mínimo.
- Calcule y para um x específico Digite um número no campo de x e o valor correspondente de y é calculado, com mais precisão do que seria possível ler na curva.
Dicas para aproveitar melhor
- O coeficiente cúbico a determina a direção geral do gráfico. Se a > 0, a curva sobe da esquerda-baixo para a direita-cima; se a < 0, desce da esquerda-cima para a direita-baixo.
- O ponto de inflexão é onde a concavidade muda. Sua coordenada x é x = −b ÷ (3a) e é exibido como um diamante laranja no gráfico.
- Os extremos locais são obtidos resolvendo dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0. Máximos locais aparecem em verde e mínimos em roxo. Se o discriminante dessa equação for ≤ 0, não há extremos e a função é monótona.
- O padrão é y = x³ − 3x (a=1, b=0, c=-3, d=0), um exemplo clássico com máximo local em (−1, 2) e mínimo local em (1, −2).
Onde o gráfico cúbico ajuda
Estudar derivadas e tabelas de sinais
Em problemas que constroem uma tabela de crescimento e decrescimento a partir da primeira derivada, comparar com a curva real aprofunda a compreensão sobre máximos, mínimos e trechos monótonos.
Conferir uma fatoração com base no número de raízes
Redesenhe a curva alterando os coeficientes e você verá visualmente quantas vezes ela cruza o eixo x, útil para conferir o número de raízes obtidas ao fatorar.
Observar a inversão da concavidade no ponto de inflexão
Ver a curva se curvar em um sentido e depois no outro ao redor do ponto de inflexão, conforme os coeficientes mudam, é uma boa forma de praticar a leitura do sinal da segunda derivada.
Esboçar modelos cúbicos em economia ou física
Para fenômenos aproximados por uma cúbica, como um custo ou um volume que variam, inserir os coeficientes dá uma noção rápida do formato geral.
Comparar com curvas de outros graus
Para comparar com um grau menor, use o gráfico quadrático; para comparar com uma reta, o gráfico linear.
Termos relacionados às funções cúbicas
- Função cúbica
- Uma função da forma y = ax³ + bx² + cx + d com a diferente de zero. Recebe esse nome porque o maior expoente de x é três.
- Ponto de inflexão
- O ponto onde a concavidade do gráfico muda. Igualando a segunda derivada d²y/dx² = 6ax + 2b a zero, obtém-se x = −b ÷ (3a), e uma função cúbica sempre tem exatamente um.
- Máximo e mínimo locais
- Um pico local, onde y é maior que nos pontos vizinhos, e um vale local, onde é menor. São encontrados como as raízes reais da primeira derivada dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0.
- Discriminante (dos extremos)
- O sinal de (2b)² − 4(3a)c, o discriminante da primeira derivada, determina se existem extremos. Positivo significa que tanto o máximo quanto o mínimo locais existem; zero ou negativo significa que nenhum existe e a curva é monótona.
- Monótona crescente e decrescente
- O estado em que y continua aumentando à medida que x aumenta (monótona crescente), ou continua diminuindo (monótona decrescente). Uma cúbica sem extremos locais é sempre uma das duas.
- Fatoração
- Reescrever a expressão cúbica ax³ + bx² + cx + d como um produto, como (x − p)(x − q)(x − r). Os valores p, q e r correspondem às coordenadas x onde a curva cruza o eixo x.
Perguntas frequentes
Curiosidade — A rivalidade por trás da fórmula cúbica
A solução geral das equações cúbicas (fórmula de Cardano) provocou uma amarga disputa entre matemáticos italianos do século XVI. Niccolò Tartaglia descobriu o método e o compartilhou com Gerolamo Cardano sob promessa de sigilo. Em 1545, porém, Cardano publicou a fórmula em sua obra Ars Magna, desencadeando a indignação de Tartaglia, que o acusou de plágio.
Curiosamente, a resolução de equações cúbicas impulsionou a invenção dos números complexos. Mesmo quando a equação tem apenas raízes reais, a fórmula de Cardano pode exigir raízes quadradas de números negativos em etapas intermediárias. Rafael Bombelli mostrou que tratar esses "números imaginários" formalmente levava às soluções reais corretas, lançando as bases da teoria dos números complexos.