Traceur et calculateur de fonction quadratique — Sommet et racines
Tracez gratuitement y = ax² + bx + c en saisissant a, b et c. Calculez instantanément le sommet, l'axe de symétrie, le discriminant et les racines réelles.
Ce qu’est la courbe d’une fonction du second degré
Une fonction du second degré s’écrit y = ax² + bx + c, et sa représentation est une parabole : une courbe symétrique par rapport à une droite verticale. Le a règle l’ouverture : positif, elle s’ouvre vers le haut ; négatif, vers le bas ; et plus sa valeur absolue est grande, plus elle se resserre. Si a vaut zéro, le terme en x² disparaît et il ne reste qu’une droite : on ne peut plus la traiter comme une fonction du second degré.
Cet outil trace la parabole à partir de ces trois coefficients et en tire du même coup le sommet, l’axe de symétrie, le discriminant Δ, la nature des racines réelles et l’ordonnée à l’origine. L’abscisse du sommet vient de x = −b ÷ (2a), et ce point est le minimum quand a est positif, le maximum quand il est négatif. Le signe du discriminant Δ = b² − 4ac décide si la courbe coupe l’axe des abscisses en deux points, le touche ou ne l’atteint pas. L’intervalle de x affiché se change, de sorte que vous pouvez grossir le sommet ou observer ce qui se passe plus loin.
Comment se servir de la courbe
- Saisissez les trois coefficients Portez a, b et c, et la parabole se trace. Mettre a à zéro ne laisse plus de fonction du second degré, et un message le signale.
- Réglez l’intervalle de x Indiquez xMin et xMax pour n’afficher que la portion voulue. Si xMin n’est pas inférieur à xMax, il n’y a pas d’intervalle et un message suit.
- Lisez le sommet et l’axe Les coordonnées du sommet et l’équation de l’axe de symétrie paraissent d’elles-mêmes. Le sommet est marqué sur la courbe : on voit où se tient le minimum ou le maximum.
- Déduisez les racines du discriminant Un Δ positif se lit comme deux racines réelles distinctes, nul comme une racine double, négatif comme aucune racine réelle – ce qui dit du même coup comment la courbe se place vis-à-vis de l’axe des abscisses.
- Trouvez le y d’un x donné Écrivez un nombre dans le champ x et le y correspondant se calcule, plus exactement qu’en le lisant sur la courbe.
Astuces pour en tirer le meilleur parti
- Le coefficient quadratique a détermine la forme de la parabole. Si a > 0, elle s'ouvre vers le haut ; si a < 0, vers le bas. Plus |a| est grand, plus la parabole est étroite.
- L'abscisse du sommet est x = −b ÷ (2a). Le sommet est le point minimum quand a > 0 ou maximum quand a < 0, affiché comme un losange bleu sur le graphe.
- Le discriminant Δ = b² − 4ac détermine le nombre de racines réelles. Δ > 0 : la parabole coupe l'axe x en 2 points (points verts) ; Δ = 0 : elle le tangente (racine double) ; Δ < 0 : aucune intersection.
- Survolez le graphe pour voir les coordonnées (x, y) de n'importe quel point. Entrez une valeur de x à gauche pour calculer le y correspondant.
Où la courbe est utile
Étudier et contrôler les mathématiques du lycée
Retracez la courbe en changeant les coefficients peu à peu et vous verrez comment a, b et c pèsent chacun sur sa forme et sa place. Cela sert aussi à vérifier un sommet ou une racine obtenus par forme canonique ou par la formule.
Voir le lien entre discriminant et points de coupure
Tracez en changeant le signe de Δ, et les trois cas – couper l’axe deux fois, le toucher, le manquer – se présentent comme des formes que l’on voit réellement.
Problèmes de maximum ou de minimum
Dans les questions courantes sur le prix qui rend le bénéfice maximal ou le côté qui rend l’aire maximale, c’est la place du sommet que l’on cherche.
Décrire un mouvement de projectile
La trajectoire d’un corps soumis à la seule pesanteur dessine une parabole. La hauteur changeante d’un objet lancé vers le haut s’écrit comme une fonction du second degré, le temps tenant lieu de x.
La comparer à d’autres courbes
Pour l’opposer à une droite, prenez la courbe de la fonction affine ; pour monter d’un degré, la courbe de la fonction du troisième degré.
Termes relatifs à la fonction du second degré
- Fonction du second degré
- Fonction de la forme y = ax² + bx + c avec a non nul. Elle tient son nom de ce que la plus haute puissance de x vaut deux, et sa représentation est une parabole.
- Parabole
- La courbe symétrique que décrit la représentation d’une fonction du second degré. Son nom vient de la trajectoire que suit un corps lancé.
- Sommet
- Le point de rebroussement de la parabole. Son abscisse vaut x = −b ÷ (2a) ; il donne le minimum de la fonction si a est positif, le maximum s’il est négatif.
- Axe de symétrie
- La droite verticale qui partage la parabole en deux moitiés en miroir et passe par le sommet. Son équation est x = −b ÷ (2a).
- Discriminant
- La valeur Δ = b² − 4ac. Si Δ est positif, il y a deux racines réelles distinctes ; s’il est nul, une racine double ; s’il est négatif, aucune racine réelle et la courbe ne rencontre jamais l’axe des abscisses.
- Racine double
- Le cas où les deux racines se confondent en une même valeur. Il survient quand le discriminant est nul, et la courbe touche alors l’axe des abscisses.
- Forme canonique
- La réécriture sous la forme y = a(x − p)² + q. Ainsi écrite, la fonction laisse voir son sommet : c’est (p, q).
Questions fréquentes
Anecdote — L'origine du mot « parabole »
Le nom « parabole » a été coined par le mathématicien grec Apollonius de Perge (v. 262–190 av. J.-C.) lors de ses études sur les sections coniques. Le mot grec « παραβολή » (parabolé) signifie « placé côte à côte », en référence à la propriété géométrique qu'une parabole est l'ensemble des points équidistants d'un foyer et d'une directrice.
L'une des apparitions les plus célèbres des paraboles dans le monde réel est la trajectoire d'un projectile sous la gravité (sans résistance de l'air), découverte expérimentalement par Galilée au XVIIe siècle. Les miroirs paraboliques sont utilisés dans les lampes de poche et les phares automobiles pour convertir une source lumineuse ponctuelle en faisceau parallèle.