Kubische Funktion zeichnen & berechnen — Wendepunkt und Extrema

Zeichnen Sie y = ax³ + bx² + cx + d kostenlos durch Eingabe von a–d. Wendepunkt, lokales Maximum und lokales Minimum werden sofort berechnet.

Zuletzt aktualisiert: 2026-09-08

Was der Graph einer kubischen Funktion ist

Eine kubische Funktion wird als y = ax³ + bx² + cx + d geschrieben und trägt ihren Namen, weil die höchste Potenz von x drei ist. Anders als die achsensymmetrische Parabel einer quadratischen Funktion ist ihre Kurve nicht spiegelsymmetrisch, und das Vorzeichen von a bestimmt die Gesamtrichtung: Ist es positiv, steigt die Kurve von unten links nach oben rechts; ist es negativ, fällt sie von oben links nach unten rechts und zeichnet dabei eine S-förmige Kurve, die höchstens ein lokales Maximum und ein lokales Minimum besitzen kann. Setzt man a auf null, verschwindet der kubische Term vollständig und es bleibt eine Funktion niedrigeren Grades übrig, weshalb dieses Tool einen von null verschiedenen Wert für a verlangt.

Dieses Tool zeichnet die Kurve anhand von vier Koeffizienten und berechnet zugleich den Wendepunkt, das lokale Maximum und das lokale Minimum. Ein Wendepunkt, an dem sich die Krümmung ändert, existiert immer, doch ob überhaupt ein lokales Maximum und Minimum vorliegen, hängt vom Vorzeichen einer Diskriminante ab: Entweder sind beide vorhanden, oder keines von beiden, und die Funktion ist schlicht monoton. Ändert man den angezeigten x-Bereich, lässt sich der Bereich um den Wendepunkt vergrößern oder betrachten, wie sich die Kurve weiter entfernt entwickelt.

So verwenden Sie den kubischen Graphen

Die vier Koeffizienten eingeben Geben Sie a, b, c und d ein, um die Kurve zu zeichnen. Ist a gleich null, liegt keine kubische Funktion vor, und es erscheint ein Fehler.
Den x-Bereich festlegen Geben Sie xMin und xMax an, um nur den gewünschten Ausschnitt anzuzeigen. Ist xMin nicht kleiner als xMax, entsteht kein gültiger Bereich, und ein Fehler wird angezeigt.
Den Wendepunkt prüfen Die Koordinaten des Punktes, an dem sich die Krümmung ändert, werden automatisch angezeigt und im Graphen mit einer orangefarbenen Raute markiert.
Ablesen, ob Extrema vorliegen Je nach Vorzeichen der Diskriminante werden sowohl ein lokales Maximum als auch Minimum angezeigt, oder es wird gemeldet, dass keines vorliegt. Grün markiert das Maximum, Lila das Minimum.
y für ein bestimmtes x berechnen Geben Sie eine Zahl in das x-Feld ein, und der passende y-Wert wird berechnet — genauer, als man ihn von der Kurve ablesen könnte.

Tipps für die Nutzung

Der kubische Koeffizient a bestimmt die Grundrichtung des Graphen. Bei a > 0 steigt die Kurve von unten links nach oben rechts; bei a < 0 fällt sie von oben links nach unten rechts.
Der Wendepunkt ist der Punkt, an dem sich die Krümmung ändert. Seine x-Koordinate ist x = −b ÷ (3a) und wird als oranges Raute-Symbol angezeigt.
Lokale Extrema erhält man durch Lösen von dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0. Lokale Maxima werden grün, lokale Minima lila dargestellt. Ist die Diskriminante dieser Gleichung ≤ 0, gibt es keine lokalen Extrema und die Funktion ist monoton.
Standard ist y = x³ − 3x (a=1, b=0, c=-3, d=0), ein klassisches Beispiel mit lokalem Maximum bei (−1, 2) und lokalem Minimum bei (1, −2).

Wofür sich der kubische Graph eignet

Ableitungen und Vorzeichentabellen lernen

Bei Aufgaben, die anhand der ersten Ableitung eine Monotonietabelle erstellen, vertieft der Vergleich mit der tatsächlichen Kurve das Verständnis für lokale Maxima, Minima und monotone Abschnitte.

Eine Faktorisierung anhand der Nullstellenzahl prüfen

Zeichnen Sie die Kurve bei veränderten Koeffizienten neu, und Sie sehen visuell, wie oft sie die x-Achse schneidet — nützlich, um die durch Faktorisieren gefundene Anzahl der Nullstellen zu überprüfen.

Den Wechsel der Krümmung am Wendepunkt beobachten

Zu sehen, wie sich die Kurve rund um den Wendepunkt erst in die eine, dann in die andere Richtung biegt, während sich die Koeffizienten ändern, ist eine gute Übung, um das Vorzeichen der zweiten Ableitung zu lesen.

Kubische Modelle in Wirtschaft oder Physik skizzieren

Für Phänomene, die durch eine kubische Funktion angenähert werden — etwa sich ändernde Kosten oder ein sich änderndes Volumen — liefert das Einsetzen von Koeffizienten schnell ein Gefühl für die grobe Form.

Mit Kurven anderen Grades vergleichen

Für den Vergleich mit einem Grad niedriger nutzen Sie den quadratischen Graphen, für den Vergleich mit einer Geraden den linearen Graphen.

Begriffe rund um kubische Funktionen

Kubische Funktion: Eine Funktion der Form y = ax³ + bx² + cx + d mit a ungleich null. Sie trägt ihren Namen, weil die höchste Potenz von x drei ist.
Wendepunkt: Der Punkt, an dem sich die Krümmung des Graphen ändert. Setzt man die zweite Ableitung d²y/dx² = 6ax + 2b gleich null, erhält man x = −b ÷ (3a); eine kubische Funktion besitzt stets genau einen Wendepunkt.
Lokales Maximum und Minimum: Ein lokaler Gipfel, an dem y größer ist als an benachbarten Punkten, und ein lokales Tal, an dem y kleiner ist. Sie ergeben sich als reelle Nullstellen der ersten Ableitung dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0.
Diskriminante (der Extrema): Das Vorzeichen von (2b)² − 4(3a)c, der Diskriminante der ersten Ableitung, entscheidet, ob überhaupt Extrema vorliegen. Positiv bedeutet, dass sowohl ein lokales Maximum als auch Minimum existieren; null oder negativ bedeutet, dass keines existiert und die Kurve monoton ist.
Monoton steigend und fallend: Der Zustand, in dem y mit steigendem x stets zunimmt (monoton steigend) oder stets abnimmt (monoton fallend). Eine kubische Funktion ohne lokale Extrema ist stets eines von beidem.
Faktorisieren: Das Umschreiben des kubischen Ausdrucks ax³ + bx² + cx + d als Produkt wie (x − p)(x − q)(x − r). Die Werte p, q und r entsprechen den x-Koordinaten, an denen die Kurve die x-Achse schneidet.

Häufige Fragen

Ein Wendepunkt ist der Punkt, an dem sich die Krümmungsrichtung des Graphen ändert. Für y = ax³ + bx² + cx + d setzt man die zweite Ableitung d²y/dx² = 6ax + 2b gleich null und erhält x = −b ÷ (3a). An diesem Punkt wechselt der Graph von konkav nach konvex (oder umgekehrt).

Ein lokales Maximum ist ein Punkt, an dem y größer ist als in benachbarten Punkten (ein lokaler Gipfel); ein lokales Minimum ist ein Punkt, an dem y kleiner ist (ein lokales Tal). Man findet sie durch Lösen von dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0 und Prüfen des Vorzeichens der zweiten Ableitung (negativ → Maximum, positiv → Minimum). Ist die Diskriminante ≤ 0, gibt es keine Extrema.

Ja. Die Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0 (mit reellen Koeffizienten) hat immer mindestens eine reelle Wurzel. Laut dem Zwischenwertsatz gilt für a > 0: y → +∞ für x → +∞ und y → −∞ für x → −∞, sodass der Graph mindestens einmal die x-Achse kreuzen muss.

Die Richtung des Graphen wird umgekehrt: Statt von unten links nach oben rechts zu steigen, fällt er von oben links nach unten rechts. Lokale Extrema treten bei denselben x-Koordinaten auf, aber die y-Werte sind vorzeichenumgekehrt gegenüber dem Fall a > 0.

Übrigens – Der Streit um die kubische Formel

Die allgemeine Lösung kubischer Gleichungen (Cardanische Formel) löste im 16. Jahrhundert einen erbitterten Streit unter italienischen Mathematikern aus. Niccolò Tartaglia entdeckte eine Lösungsmethode und teilte sie Gerolamo Cardano unter dem Versprechen der Geheimhaltung mit. 1545 veröffentlichte Cardano die Formel jedoch in seinem Werk Ars Magna, was Tartaglia als Verrat betrachtete und einen heftigen Streit auslöste.

Bemerkenswert ist, dass die Lösung kubischer Gleichungen die Erfindung der komplexen Zahlen anregte. Selbst wenn die Gleichung nur reelle Wurzeln hat, können in der Cardanischen Formel Zwischenschritte mit √(−1) auftreten. Rafael Bombelli zeigte, dass die formale Behandlung dieser „imaginären Zahlen" zu den richtigen reellen Lösungen führt und legte damit den Grundstein der Theorie der komplexen Zahlen.

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