Grafico e calcolo della funzione cubica — flesso ed estremi automatici

Basta inserire i coefficienti per tracciare gratuitamente il grafico della funzione cubica. Calcola automaticamente il punto di flesso, il massimo e il minimo relativi e ne mostra le coordinate sul grafico.

Consigli

  • Il coefficiente del termine cubico determina l'andamento generale del grafico: se è positivo la curva sale da sinistra in basso verso destra in alto, se è negativo scende da sinistra in alto verso destra in basso.
  • Il punto di flesso è quello in cui cambia la concavità. La sua ascissa si ricava dividendo il coefficiente quadratico cambiato di segno per il triplo di quello cubico. Sul grafico è indicato da un rombo arancione.
  • Il massimo e il minimo relativi si ottengono annullando la derivata prima. Il massimo è indicato da un punto verde e il minimo da uno viola. Se il discriminante della derivata è negativo non esistono estremi e la funzione è monotona.
  • La configurazione predefinita corrisponde alla funzione y uguale a x al cubo meno tre x, un esempio tipico con massimo relativo nel punto di ascissa -1 e ordinata 2 e minimo relativo nel punto di ascissa 1 e ordinata -2.

Domande frequenti

È il punto in cui la concavità del grafico si inverte. Nella funzione cubica, annullando la derivata seconda si ottiene l'ascissa del flesso, pari al coefficiente quadratico cambiato di segno diviso per il triplo di quello cubico. Nel flesso la curva passa dalla concavità verso il basso a quella verso l'alto, o viceversa.

Il massimo relativo è una cima locale, in cui il valore della funzione supera quello dei punti vicini, e il minimo relativo un avvallamento locale. Si ricavano annullando la derivata prima e si distinguono dal segno della derivata seconda in quel punto: negativo per il massimo, positivo per il minimo. Se il discriminante è minore o uguale a zero non esistono estremi e la funzione è monotona.

Sì. Un'equazione di terzo grado a coefficienti reali ammette sempre almeno una soluzione reale. Lo garantisce il teorema dei valori intermedi: poiché per x che tende a più infinito e per x che tende a meno infinito il valore della funzione ha segni opposti, la curva deve necessariamente attraversare lo zero.

L'andamento del grafico si rovescia: con il coefficiente positivo la curva sale da sinistra in basso verso destra in alto, con quello negativo scende da sinistra in alto verso destra in basso. Le posizioni del massimo e del minimo restano le stesse, ma a parità di ascissa i valori della funzione risultano di segno opposto.
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A proposito — le rivalità fra i matematici che risolsero l'equazione di terzo grado

Intorno alla soluzione generale dell'equazione di terzo grado, la cosiddetta formula di Cardano, i matematici italiani del Cinquecento ingaggiarono aspre contese. Niccolò Tartaglia scoprì in segreto un metodo risolutivo e lo comunicò a Gerolamo Cardano con la promessa che non lo divulgasse. Nel 1545, però, Cardano lo pubblicò nella sua Ars magna e Tartaglia lo accusò di plagio, dando avvio a una violenta polemica.

È interessante che la formula risolutiva dell'equazione cubica abbia sollecitato l'invenzione del concetto di numero immaginario. Anche in equazioni che ammettono soltanto soluzioni reali, nei passaggi intermedi della formula può comparire la radice quadrata di meno uno. Rafael Bombelli mostrò che, trattandola formalmente come un numero immaginario, si giungeva alle corrette soluzioni reali: fu il germe della teoria dei numeri complessi.

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