Grafico e calcolo della funzione cubica — flesso ed estremi automatici

Basta inserire i coefficienti per tracciare gratuitamente il grafico della funzione cubica. Calcola automaticamente il punto di flesso, il massimo e il minimo relativi e ne mostra le coordinate sul grafico.

Che cos'è il grafico di una funzione cubica

Una funzione cubica si scrive y = ax³ + bx² + cx + d e prende il nome dal fatto che il grado massimo di x è tre. A differenza della parabola simmetrica di una funzione quadratica, la sua curva non è simmetrica, e il segno del coefficiente cubico determina l'andamento generale: se positivo, la curva sale da sinistra in basso verso destra in alto; se negativo, scende da sinistra in alto verso destra in basso, disegnando una curva a S che può presentare al massimo un massimo relativo e un minimo relativo. Se il coefficiente cubico viene posto uguale a zero, il termine di terzo grado scompare e resta una funzione di grado inferiore: per questo lo strumento richiede che tale coefficiente sia diverso da zero.

Lo strumento traccia la curva a partire da quattro coefficienti e calcola insieme il punto di flesso, il massimo relativo e il minimo relativo. Il punto di flesso, dove cambia la concavità, esiste sempre, ma l'esistenza stessa di un massimo e di un minimo relativi dipende dal segno di un discriminante: o esistono entrambi, oppure non esiste nessuno dei due e la funzione è semplicemente monotona. Modificando l'intervallo di x visualizzato è possibile ingrandire la zona intorno al flesso oppure osservare come si estende la curva più lontano.

Come usare il grafico della funzione cubica

Inserire i quattro coefficienti Inserendo i coefficienti dei termini cubico, quadratico, lineare e il termine noto si traccia la curva. Se il coefficiente cubico è nullo la funzione non è cubica e compare un errore.
Impostare l'intervallo di x Indicate il minimo e il massimo di x per mostrare solo il tratto che vi interessa. Se il minimo non è inferiore al massimo l'intervallo non è valido e compare un errore.
Verificare il punto di flesso Le coordinate del punto in cui cambia la concavità vengono mostrate automaticamente e segnalate sul grafico con un rombo arancione.
Verificare se esistono estremi A seconda del segno del discriminante vengono mostrati sia il massimo sia il minimo relativi, oppure il grafico segnala che non ne esiste alcuno. Il verde indica il massimo, il viola il minimo.
Calcolare y per un dato x Digitando un numero nel campo x si calcola il valore corrispondente di y, con maggiore precisione di quanto si potrebbe leggere dalla curva.

Consigli per sfruttarlo al meglio

Il coefficiente del termine cubico determina l'andamento generale del grafico: se è positivo la curva sale da sinistra in basso verso destra in alto, se è negativo scende da sinistra in alto verso destra in basso.
Il punto di flesso è quello in cui cambia la concavità. La sua ascissa si ricava dividendo il coefficiente quadratico cambiato di segno per il triplo di quello cubico. Sul grafico è indicato da un rombo arancione.
Il massimo e il minimo relativi si ottengono annullando la derivata prima. Il massimo è indicato da un punto verde e il minimo da uno viola. Se il discriminante della derivata è negativo non esistono estremi e la funzione è monotona.
La configurazione predefinita corrisponde alla funzione y uguale a x al cubo meno tre x, un esempio tipico con massimo relativo nel punto di ascissa -1 e ordinata 2 e minimo relativo nel punto di ascissa 1 e ordinata -2.

Dove risulta utile il grafico della funzione cubica

Studiare le derivate e gli schemi dei segni

Negli esercizi che costruiscono uno schema di crescita e decrescita a partire dalla derivata prima, il confronto con la curva reale approfondisce la comprensione di massimi, minimi e tratti monotoni.

Verificare una scomposizione in base al numero di soluzioni

Ridisegnando la curva al variare dei coefficienti si vede visivamente quante volte incontra l'asse delle x, utile per controllare il numero di soluzioni trovate scomponendo il polinomio.

Osservare l'inversione della concavità nel punto di flesso

Vedere la curva piegarsi prima in un verso e poi nell'altro attorno al flesso, mentre cambiano i coefficienti, è un buon modo per esercitarsi a leggere il segno della derivata seconda.

Abbozzare modelli cubici in economia o fisica

Per fenomeni approssimati da una funzione cubica, come un costo o un volume che variano, inserire i coefficienti dà rapidamente un'idea della forma generale.

Confrontare con curve di altro grado

Per confrontare con un grado inferiore usate il grafico della funzione quadratica; per confrontare con una retta, il grafico della funzione lineare.

Termini legati alle funzioni cubiche

Funzione cubica: Una funzione della forma y = ax³ + bx² + cx + d con il coefficiente cubico diverso da zero. Prende il nome dal fatto che il grado massimo di x è tre.
Punto di flesso: Il punto in cui cambia la concavità del grafico. Annullando la derivata seconda si ottiene la sua ascissa, pari al coefficiente quadratico cambiato di segno diviso per il triplo di quello cubico: una funzione cubica ne ha sempre esattamente uno.
Massimo e minimo relativi: Una cima locale, in cui y è maggiore che nei punti vicini, e un avvallamento locale, in cui è minore. Si trovano come soluzioni reali della derivata prima uguagliata a zero.
Discriminante (degli estremi): Il segno del discriminante della derivata prima determina se esistono estremi. Se è positivo esistono sia il massimo sia il minimo relativi; se è nullo o negativo non esiste nessuno dei due e la curva è monotona.
Funzione monotona crescente e decrescente: Lo stato in cui y aumenta sempre all'aumentare di x (monotona crescente), oppure diminuisce sempre (monotona decrescente). Una funzione cubica priva di estremi relativi è sempre in uno di questi due casi.
Scomposizione in fattori: Riscrivere l'espressione cubica come prodotto, ad esempio (x − p)(x − q)(x − r). I valori p, q e r corrispondono alle ascisse in cui la curva incontra l'asse delle x.

Domande frequenti

È il punto in cui la concavità del grafico si inverte. Nella funzione cubica, annullando la derivata seconda si ottiene l'ascissa del flesso, pari al coefficiente quadratico cambiato di segno diviso per il triplo di quello cubico. Nel flesso la curva passa dalla concavità verso il basso a quella verso l'alto, o viceversa.

Il massimo relativo è una cima locale, in cui il valore della funzione supera quello dei punti vicini, e il minimo relativo un avvallamento locale. Si ricavano annullando la derivata prima e si distinguono dal segno della derivata seconda in quel punto: negativo per il massimo, positivo per il minimo. Se il discriminante è minore o uguale a zero non esistono estremi e la funzione è monotona.

Sì. Un'equazione di terzo grado a coefficienti reali ammette sempre almeno una soluzione reale. Lo garantisce il teorema dei valori intermedi: poiché per x che tende a più infinito e per x che tende a meno infinito il valore della funzione ha segni opposti, la curva deve necessariamente attraversare lo zero.

L'andamento del grafico si rovescia: con il coefficiente positivo la curva sale da sinistra in basso verso destra in alto, con quello negativo scende da sinistra in alto verso destra in basso. Le posizioni del massimo e del minimo restano le stesse, ma a parità di ascissa i valori della funzione risultano di segno opposto.

A proposito — le rivalità fra i matematici che risolsero l'equazione di terzo grado

Intorno alla soluzione generale dell'equazione di terzo grado, la cosiddetta formula di Cardano, i matematici italiani del Cinquecento ingaggiarono aspre contese. Niccolò Tartaglia scoprì in segreto un metodo risolutivo e lo comunicò a Gerolamo Cardano con la promessa che non lo divulgasse. Nel 1545, però, Cardano lo pubblicò nella sua Ars magna e Tartaglia lo accusò di plagio, dando avvio a una violenta polemica.

È interessante che la formula risolutiva dell'equazione cubica abbia sollecitato l'invenzione del concetto di numero immaginario. Anche in equazioni che ammettono soltanto soluzioni reali, nei passaggi intermedi della formula può comparire la radice quadrata di meno uno. Rafael Bombelli mostrò che, trattandola formalmente come un numero immaginario, si giungeva alle corrette soluzioni reali: fu il germe della teoria dei numeri complessi.

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