Graficador y calculadora de función cúbica — Inflexión y extremos

Grafica gratis y = ax³ + bx² + cx + d al introducir a–d. Calcula al instante el punto de inflexión, el máximo y el mínimo locales, y consulta coordenadas.

Última actualización: 2026-09-08

Qué es la gráfica de una función cúbica

Una función cúbica se escribe y = ax³ + bx² + cx + d, y toma su nombre porque el mayor exponente de x es tres. A diferencia de la parábola simétrica de una función cuadrática, su curva no es simétrica, y el signo de a determina la dirección general: si es positivo, la curva sube de izquierda-abajo a derecha-arriba; si es negativo, baja de izquierda-arriba a derecha-abajo, trazando una curva en forma de S que puede tener como máximo un máximo local y un mínimo local. Si a se fija en cero, el término cúbico desaparece y queda una función de menor grado, por lo que esta herramienta exige que a sea distinto de cero.

Esta herramienta dibuja la curva a partir de cuatro coeficientes y calcula juntos el punto de inflexión, el máximo local y el mínimo local. El punto de inflexión, donde cambia la concavidad, siempre existe, pero que existan un máximo y un mínimo locales depende del signo de un discriminante: o existen ambos, o no existe ninguno y la función es simplemente monótona. Cambiar el rango de x mostrado permite acercarse alrededor del punto de inflexión o ver cómo se extiende la curva más lejos.

Cómo usar la gráfica cúbica

Introduce los cuatro coeficientes Ingresa a, b, c y d para dibujar la curva. Si a es cero no hay función cúbica, y aparece un mensaje de error.
Ajusta el rango de x Indica xMin y xMax para mostrar solo el tramo que te interesa. Si xMin no es menor que xMax no hay rango válido, y se muestra un error.
Consulta el punto de inflexión Las coordenadas del punto donde cambia la concavidad se muestran automáticamente, marcadas en la gráfica con un diamante naranja.
Comprueba si existen extremos Según el signo del discriminante, se muestran tanto el máximo como el mínimo locales, o bien se indica que no existen. El verde marca el máximo y el morado el mínimo.
Calcula y para un x concreto Escribe un número en el campo de x y se calcula el valor de y correspondiente, con más precisión de la que se podría leer en la curva.

Consejos para aprovecharla mejor

El coeficiente cúbico a determina la dirección general de la gráfica. Si a > 0, la curva sube de izquierda-abajo a derecha-arriba; si a < 0, baja de izquierda-arriba a derecha-abajo.
El punto de inflexión es donde cambia la concavidad. Su coordenada x es x = −b ÷ (3a) y se muestra como un diamante naranja en la gráfica.
Los extremos locales se obtienen resolviendo dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0. Los máximos se muestran en verde y los mínimos en morado. Si el discriminante de esa ecuación es ≤ 0, no hay extremos locales y la función es monótona.
Por defecto se muestra y = x³ − 3x (a=1, b=0, c=-3, d=0), un ejemplo clásico con máximo local en (−1, 2) y mínimo local en (1, −2).

Dónde ayuda la gráfica cúbica

Estudiar derivadas y tablas de signos

En los problemas que construyen una tabla de crecimiento y decrecimiento a partir de la primera derivada, compararla con la curva real profundiza la comprensión de los máximos, mínimos y tramos monótonos.

Comprobar una factorización frente al número de raíces

Vuelve a dibujar la curva cambiando los coeficientes y podrás ver cuántas veces corta al eje x, útil para verificar el número de raíces obtenidas al factorizar.

Observar cómo se invierte la concavidad en el punto de inflexión

Ver la curva doblarse en un sentido y luego en el otro alrededor del punto de inflexión, a medida que cambian los coeficientes, es una buena forma de practicar la lectura del signo de la segunda derivada.

Esbozar modelos cúbicos en economía o física

Para fenómenos aproximados por una cúbica, como un coste o un volumen que varían, introducir los coeficientes da una idea rápida de la forma general.

Comparar con curvas de otros grados

Para comparar con un grado menor, usa la gráfica cuadrática; para comparar con una recta, la gráfica lineal.

Términos relacionados con las funciones cúbicas

Función cúbica: Una función de la forma y = ax³ + bx² + cx + d con a distinto de cero. Toma su nombre porque el mayor exponente de x es tres.
Punto de inflexión: El punto donde cambia la concavidad de la gráfica. Al igualar la segunda derivada d²y/dx² = 6ax + 2b a cero se obtiene x = −b ÷ (3a), y una función cúbica siempre tiene exactamente uno.
Máximo y mínimo locales: Un pico local, donde y es mayor que en los puntos cercanos, y un valle local, donde es menor. Se encuentran como las raíces reales de la primera derivada dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0.
Discriminante (de los extremos): El signo de (2b)² − 4(3a)c, el discriminante de la primera derivada, determina si existen extremos. Positivo significa que existen tanto el máximo como el mínimo locales; cero o negativo significa que no existe ninguno y la curva es monótona.
Monótona creciente y decreciente: El estado en el que y sigue aumentando a medida que x aumenta (monótona creciente), o sigue disminuyendo (monótona decreciente). Una cúbica sin extremos locales siempre es una de las dos.
Factorización: Reescribir la expresión cúbica ax³ + bx² + cx + d como un producto, como (x − p)(x − q)(x − r). Los valores p, q y r corresponden a las coordenadas x donde la curva corta al eje x.

Preguntas frecuentes

Un punto de inflexión es donde cambia la concavidad (la dirección de curvatura) de la gráfica. Para y = ax³ + bx² + cx + d, se iguala la segunda derivada d²y/dx² = 6ax + 2b a cero para obtener x = −b ÷ (3a). En ese punto, la curva pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba (o viceversa).

Un máximo local es un punto donde y es mayor que en los puntos cercanos (un pico local); un mínimo local es donde y es menor (un valle local). Se encuentran resolviendo dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0 y comprobando el signo de la segunda derivada (negativo → máximo, positivo → mínimo). Si el discriminante es ≤ 0, no hay extremos locales.

Sí. La ecuación ax³ + bx² + cx + d = 0 (con coeficientes reales) siempre tiene al menos una raíz real. Por el teorema del valor intermedio, como y → +∞ cuando x → +∞ e y → −∞ cuando x → −∞ (para a > 0), la gráfica debe cruzar el eje x al menos una vez.

La dirección de la gráfica se invierte: en lugar de subir de izquierda-abajo a derecha-arriba, baja de izquierda-arriba a derecha-abajo. Los extremos locales ocurren en las mismas coordenadas x, pero los valores y son opuestos en signo respecto al caso a > 0.

A propósito — La rivalidad detrás de la fórmula cúbica

La solución general de las ecuaciones cúbicas (fórmula de Cardano) provocó una amarga disputa entre matemáticos italianos del siglo XVI. Niccolò Tartaglia descubrió el método y se lo compartió a Gerolamo Cardano bajo promesa de no publicarlo. Sin embargo, Cardano lo publicó en su obra Ars Magna (1545), desatando la ira de Tartaglia, quien lo acusó de plagio.

Curiosamente, la resolución de ecuaciones cúbicas impulsó la invención de los números complejos. Incluso cuando la ecuación solo tiene raíces reales, la fórmula de Cardano puede requerir calcular raíces cuadradas de números negativos en pasos intermedios. Rafael Bombelli demostró que tratando estos "números imaginarios" formalmente se obtenían las soluciones reales correctas, sentando las bases de la teoría de números complejos.

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