三次函式影像生成與計算器｜自動求拐點和極值
輸入a至d即可免費繪製 y = ax³ + bx² + cx + d 的影像，自動計算拐點、極大值和極小值，並可在影像上檢視座標。
三次函式影像是什麼
三次函式寫作 y = ax³ + bx² + cx + d，因 x 的最高次數為3而得名。與軸對稱的拋物線不同，它的曲線不具有左右對稱性，整體走向由係數 a 的符號決定：a 為正時曲線從左下延伸至右上，為負時從左上延伸至右下，呈現S形曲線，途中最多可擁有一個極大值和一個極小值。若將 a 設為0，三次項會消失，函式退化為更低次的函式，因此本工具要求 a 不能為0。
本工具只需輸入4個係數即可繪製曲線，並同時計算拐點、極大值和極小值。拐點是凹凸性發生切換的位置，三次函式必定存在且只有一個；而極大值、極小值是否存在則取決於判別式的符號──要麼兩者都存在，要麼都不存在（此時函式單調）。調整 x 的顯示範圍，可以放大拐點附近的區域，也可以檢視曲線在更遠處的延伸情況。
三次函式影像的使用方法
- 輸入4個係數 輸入 a、b、c、d 後即可繪製曲線。若 a 為0則不構成三次函式，會顯示錯誤提示。
- 設定 x 的顯示範圍 指定 xMin 和 xMax，只顯示所需的區間。若 xMin 不小於 xMax 則無法構成範圍，會報錯。
- 檢視拐點 凹凸性切換的拐點座標會自動顯示，並在影像上以橙色菱形標出。
- 判斷極值是否存在 根據判別式的符號，極大值和極小值會同時顯示，或顯示"無極值"。綠點表示極大值，紫點表示極小值。
- 求特定 x 對應的 y 在"x 的值"中輸入數字即可計算對應的 y，比從影像上目測更精確。
用好本工具的小技巧
- 三次係數 a 決定曲線的總體走向。a > 0 時從左下延伸至右上；a < 0 時從左上延伸至右下。
- 拐點是影像凹凸性發生改變的點，其 x 座標為 x = −b ÷ (3a)，在影像上以橙色菱形標出。
- 極值通過求解 dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0 得到。極大值以綠點表示，極小值以紫點表示。若該方程的判別式 ≤ 0，則無極值，函式單調。
- 預設為 y = x³ − 3x（a=1, b=0, c=-3, d=0），這是一個典型三次函式，具有極大值 (−1, 2) 和極小值 (1, −2)。
三次函式相關術語
- 三次函式
- 形如 y = ax³ + bx² + cx + d（a ≠ 0）的函式，因 x 的最高次數為3而得名。
- 拐點
- 影像凹凸性發生切換的點。求解二階導數 d²y/dx² = 6ax + 2b = 0 得到 x = −b ÷ (3a)，三次函式必定存在且只有一個拐點。
- 極大值·極小值
- 局部範圍內 y 值高於周圍點的"山頂"（極大值），以及低於周圍點的"谷底"（極小值），可透過求解一階導數 dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0 得到。
- 判別式（極值的）
- 一階導數的判別式 (2b)² − 4(3a)c 的符號決定極值是否存在。為正時極大值和極小值都存在；為0或負時都不存在，函式呈單調狀態。
- 單調遞增·單調遞減
- 隨 x 增大 y 始終增大（單調遞增），或始終減小（單調遞減）的狀態。沒有極值的三次函式必屬於這兩種情況之一。
- 因式分解
- 將三次式 ax³ + bx² + cx + d 改寫為 (x − p)(x − q)(x − r) 這樣的乘積形式，p、q、r 對應曲線與 x 軸交點的橫座標。
常見問題
拐點是影像凹凸性（彎曲方向）發生改變的點。對於 y = ax³ + bx² + cx + d，令二階導數 d²y/dx² = 6ax + 2b = 0，解得 x = −b ÷ (3a)。在該點處，影像的彎曲方向從"向下彎"變為"向上彎"（或反之）。
極大值是區域性的"山頂"（周圍點的 y 值均較小），極小值是區域性的"谷底"（周圍點的 y 值均較大）。通過求解 dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0，再根據二階導數的符號判定（負值 → 極大，正值 → 極小）。若判別式 ≤ 0，則無極值，函式單調。
是的。對於實係數三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0，至少存在一個實數根。由介值定理可知，當 a > 0 時，x → +∞ 時 y → +∞，x → −∞ 時 y → −∞，因此影像必然至少穿過 x 軸一次。
影像方向反轉：由原來的從左下升至右上，變為從左上降至右下。極值點的 x 座標不變，但對應 y 值與 a > 0 時的情況符號相反。
閒話 ― 三次方程公式背後的數學家之爭
三次方程的一般解（卡爾達諾公式）引發了 16 世紀義大利數學家之間的激烈爭執。尼科洛·塔爾塔利亞秘密發現瞭解法，在"絕不公開"的承諾下將其傳授給傑拉莫·卡爾達諾。然而卡爾達諾於 1545 年在其著作《大術》（Ars Magna）中發表了該公式，引發了塔爾塔利亞的強烈譴責。
值得一提的是，求解三次方程的過程推動了虛數概念的誕生。即使方程只有實數根，卡爾達諾公式的中間步驟也可能出現 √(−1) 這樣的項。拉斐爾·邦貝利通過形式化地處理這些"虛數"，成功推匯出正確的實數解，為複數理論奠定了基礎。