三次函式影像生成與計算器｜自動求拐點和極值
輸入a至d即可免費繪製 y = ax³ + bx² + cx + d 的影像，自動計算拐點、極大值和極小值，並可在影像上檢視座標。
使用技巧
- 三次係數 a 決定曲線的總體走向。a > 0 時從左下延伸至右上；a < 0 時從左上延伸至右下。
- 拐點是影像凹凸性發生改變的點，其 x 座標為 x = −b ÷ (3a)，在影像上以橙色菱形標出。
- 極值通過求解 dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0 得到。極大值以綠點表示，極小值以紫點表示。若該方程的判別式 ≤ 0，則無極值，函式單調。
- 預設為 y = x³ − 3x（a=1, b=0, c=-3, d=0），這是一個典型三次函式，具有極大值 (−1, 2) 和極小值 (1, −2)。
常見問題
拐點是影像凹凸性（彎曲方向）發生改變的點。對於 y = ax³ + bx² + cx + d，令二階導數 d²y/dx² = 6ax + 2b = 0，解得 x = −b ÷ (3a)。在該點處，影像的彎曲方向從"向下彎"變為"向上彎"（或反之）。
極大值是區域性的"山頂"（周圍點的 y 值均較小），極小值是區域性的"谷底"（周圍點的 y 值均較大）。通過求解 dy/dx = 3ax² + 2bx + c = 0，再根據二階導數的符號判定（負值 → 極大，正值 → 極小）。若判別式 ≤ 0，則無極值，函式單調。
是的。對於實係數三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0，至少存在一個實數根。由介值定理可知，當 a > 0 時，x → +∞ 時 y → +∞，x → −∞ 時 y → −∞，因此影像必然至少穿過 x 軸一次。
影像方向反轉：由原來的從左下升至右上，變為從左上降至右下。極值點的 x 座標不變，但對應 y 值與 a > 0 時的情況符號相反。
閒話 ― 三次方程公式背後的數學家之爭
三次方程的一般解（卡爾達諾公式）引發了 16 世紀義大利數學家之間的激烈爭執。尼科洛·塔爾塔利亞秘密發現瞭解法，在"絕不公開"的承諾下將其傳授給傑拉莫·卡爾達諾。然而卡爾達諾於 1545 年在其著作《大術》（Ars Magna）中發表了該公式，引發了塔爾塔利亞的強烈譴責。
值得一提的是，求解三次方程的過程推動了虛數概念的誕生。即使方程只有實數根，卡爾達諾公式的中間步驟也可能出現 √(−1) 這樣的項。拉斐爾·邦貝利通過形式化地處理這些"虛數"，成功推匯出正確的實數解，為複數理論奠定了基礎。