Calculadora del teorema chino del resto (TCR) — Resuelve congruencias simultáneas
Resuelve un sistema de congruencias simultáneas x ≡ a₁ (mod n₁), x ≡ a₂ (mod n₂)... con el teorema chino del resto. Verifica automáticamente que los módulos sean coprimos entre sí y devuelve la solución mínima no negativa y la solución general.
Ejemplo resuelto: el problema del "número desconocido" del Sunzi Suanjing
Un problema clásico del Sunzi Suanjing (el "Clásico matemático de Sun Tzu"), un texto aritmético chino de entre los siglos III y V, considerado a menudo el origen del teorema chino del resto. La pregunta "¿qué número deja resto 2 al dividirse entre 3, resto 3 al dividirse entre 5 y resto 2 al dividirse entre 7?" tiene como respuesta 23, módulo 105.
| Condición 1 | x ≡ 2 (mod 3) |
|---|---|
| Condición 2 | x ≡ 3 (mod 5) |
| Condición 3 | x ≡ 2 (mod 7) |
| Solución | x ≡ 23 (mod 105) |
Consejos
- Si los módulos (nᵢ) no son coprimos entre sí obtendrás un error; por ejemplo, mod 4 y mod 6 comparten el factor 2, por lo que esta calculadora no puede resolver ese sistema (haría falta el TCR generalizado).
- No es necesario reducir tú mismo el resto aᵢ: aunque sea negativo o mayor que nᵢ, la calculadora lo normaliza internamente a mod nᵢ antes de resolver.
- Puedes añadir entre 2 y 5 congruencias. Es útil para acertijos que exigen que un número cumpla tres o más condiciones periódicas a la vez, como el clásico problema de "adivinar el número de soldados".
- La solución general se muestra como x ≡ resultado (mod N): sumar cualquier múltiplo de N al resultado sigue satisfaciendo todas las congruencias originales.
Preguntas frecuentes
A propósito — De un texto aritmético del siglo III a acelerar el cifrado RSA
El teorema chino del resto se remonta a un problema del Sunzi Suanjing, un clásico aritmético chino que se cree data de entre los siglos III y V d.C. Su famoso acertijo del "número desconocido" —encontrar un número que deje restos 2, 3 y 2 al dividirse entre 3, 5 y 7 respectivamente— ya capturaba la idea esencial detrás del teorema moderno: reconstruir un número desconocido a partir de varios restos de división.
Una de las aplicaciones prácticas más importantes del teorema chino del resto hoy en día es acelerar el descifrado RSA. El descifrado RSA requiere elevar un número grande a una potencia módulo un compuesto n = p × q, donde p y q son primos grandes. En lugar de trabajar directamente módulo n, el TCR permite hacer el cálculo de forma independiente módulo p y módulo q y luego recombinar los resultados, una técnica conocida como CRT-RSA que en teoría puede acelerar el descifrado casi cuatro veces, y que está implementada en muchas bibliotecas criptográficas.
Esta herramienta admite la forma clásica del teorema, que exige que todos los módulos sean coprimos entre sí. Cuando los módulos comparten factores comunes (por ejemplo mod 4 y mod 6), a veces todavía existe una solución, pero determinarla y calcularla requiere el teorema chino del resto generalizado, que queda fuera del alcance de esta herramienta.