Calculadora de la Función φ de Euler (Indicatriz de Euler, Coprimos)

Introduce un entero N (1 a 1.000.000) para calcular al instante cuántos enteros entre 1 y N son coprimos con N (función φ de Euler φ(N)), mostrando no solo el resultado sino la factorización prima y la fórmula empleada. Incluye gratis una tabla de referencia de φ(n) del 1 al 100.

Tabla de referencia de φ(n) del 1 al 100

Una tabla que resume la factorización prima y el valor de la función φ de Euler para cada entero del 1 al 100.

N	Factorización	φ(n)
1	1	1
2	2	1
3	3	2
4	2²	2
5	5	4
6	2 × 3	2
7	7	6
8	2³	4
9	3²	6
10	2 × 5	4
11	11	10
12	2² × 3	4
13	13	12
14	2 × 7	6
15	3 × 5	8
16	2⁴	8
17	17	16
18	2 × 3²	6
19	19	18
20	2² × 5	8
21	3 × 7	12
22	2 × 11	10
23	23	22
24	2³ × 3	8
25	5²	20
26	2 × 13	12
27	3³	18
28	2² × 7	12
29	29	28
30	2 × 3 × 5	8
31	31	30
32	2⁵	16
33	3 × 11	20
34	2 × 17	16
35	5 × 7	24
36	2² × 3²	12
37	37	36
38	2 × 19	18
39	3 × 13	24
40	2³ × 5	16
41	41	40
42	2 × 3 × 7	12
43	43	42
44	2² × 11	20
45	3² × 5	24
46	2 × 23	22
47	47	46
48	2⁴ × 3	16
49	7²	42
50	2 × 5²	20
51	3 × 17	32
52	2² × 13	24
53	53	52
54	2 × 3³	18
55	5 × 11	40
56	2³ × 7	24
57	3 × 19	36
58	2 × 29	28
59	59	58
60	2² × 3 × 5	16
61	61	60
62	2 × 31	30
63	3² × 7	36
64	2⁶	32
65	5 × 13	48
66	2 × 3 × 11	20
67	67	66
68	2² × 17	32
69	3 × 23	44
70	2 × 5 × 7	24
71	71	70
72	2³ × 3²	24
73	73	72
74	2 × 37	36
75	3 × 5²	40
76	2² × 19	36
77	7 × 11	60
78	2 × 3 × 13	24
79	79	78
80	2⁴ × 5	32
81	3⁴	54
82	2 × 41	40
83	83	82
84	2² × 3 × 7	24
85	5 × 17	64
86	2 × 43	42
87	3 × 29	56
88	2³ × 11	40
89	89	88
90	2 × 3² × 5	24
91	7 × 13	72
92	2² × 23	44
93	3 × 31	60
94	2 × 47	46
95	5 × 19	72
96	2⁵ × 3	32
97	97	96
98	2 × 7²	42
99	3² × 11	60
100	2² × 5²	40

Qué es la función φ de Euler

La función φ de Euler cuenta cuántos de los enteros de 1 a n son coprimos con n. Coprimos quiere decir que su máximo común divisor es 1, es decir, que no comparten ningún factor primo. Así, φ(9) vale 6, porque 1, 2, 4, 5, 7 y 8 no comparten factor primo alguno con 9.

Esta herramienta obtiene φ(N) del entero que usted escriba y muestra, además de la respuesta, **la descomposición en factores primos de N y la fórmula que lleva de ella a φ(N)**. La fórmula es φ(n) = n × Π(1 − 1/p), tomado el producto sobre los factores primos distintos p de n. Por muchas veces que se repita un primo, entra en el producto una sola vez: el exponente no altera el resultado. Se admite cualquier valor de 1 a 1.000.000, y más abajo figura una tabla de φ(n) de 1 a 100.

Cómo usar la calculadora

Escriba el entero N Dé un número entero de 1 a 1.000.000. Cualquier valor fuera de ese intervalo, o que no sea entero, provoca un aviso.
Lea el valor de φ(N) Conforme escribe aparece el número de enteros de 1 a N que son coprimos con N.
Compruebe la descomposición Se le muestra en qué primos se descompone N: un hilo del que tirar si quiere ver de dónde sale el valor de φ(N).
Siga la deducción por la fórmula La fórmula φ(n) = n × Π(1 − 1/p) aparece con los factores primos reales ya sustituidos, lista para comprobar un cálculo hecho a mano.
Compárelo con la tabla Debajo hay una lista de φ(n) de 1 a 100, en la que se aprecian regularidades a simple vista, como que φ de un primo es ese primo menos uno.

Consejos para aprovecharla mejor

La función φ de Euler φ(n) cuenta los enteros entre 1 y n que son coprimos con n. Por ejemplo, φ(9) = 6 (1, 2, 4, 5, 7 y 8 son coprimos con 9).
Si n es un número primo p, entonces φ(p) = p − 1, porque todos los números del 1 al p salvo p mismo son coprimos con un primo.
Si n es el producto de dos primos distintos p y q, φ(pq) = (p−1)(q−1), una propiedad que se usa directamente en la generación de claves RSA.
La fórmula φ(n) = n × Π(1 − 1/p) es un producto sobre los factores primos distintos p de n; el exponente de cada primo no afecta al resultado.
Esta herramienta admite el rango de 1 a 1.000.000 y calcula φ(n) al instante mediante factorización por división de prueba.

Dónde ayuda la función φ de Euler

Estudiar teoría de números y corregir deberes

Confirme si el φ(n) que halló a mano es correcto. Como se muestran al lado la descomposición y la fórmula, puede detectar un error en la deducción y no solo en el resultado.

Entender cómo funciona el RSA

El RSA usa el producto n = pq de dos primos como parte de la clave pública, y construir la clave privada exige φ(n) = (p−1)(q−1). Hacerlo con primos pequeños vuelve concreta esa relación.

Comprobar el teorema de Euler

El teorema de Euler dice que, para a coprimo con n, a elevado a φ(n) deja resto 1 al dividirlo entre n. Halle antes φ(n) y podrá ensayar el teorema con números pequeños.

Observar la propiedad multiplicativa

Cuando m y n son coprimos, φ(mn) = φ(m)φ(n). Combinando valores de la tabla se ve que esto se cumple de veras.

Cuando lo que busca es la descomposición

Si solo necesita los factores, use la descomposición en factores primos; para saber si un número es primo, el test de primalidad.

Términos sobre la función φ

Función φ de Euler: La función que devuelve cuántos enteros de 1 a n son coprimos con n. Se escribe φ(n) y fue introducida por Leonhard Euler en el siglo XVIII.
Coprimos: Estado de dos enteros cuyo máximo común divisor es 1, lo que equivale a no compartir ningún factor primo.
Descomposición en factores primos: Escribir un entero como producto de primos. Como φ(n) queda determinado solo por los factores primos distintos de n, el cálculo arranca en esta descomposición.
Función multiplicativa: Función para la que f(mn) = f(m)f(n) siempre que m y n sean coprimos. φ tiene esta propiedad, y por eso el valor de un número grande puede componerse a partir de sus factores primos.
Teorema de Euler: El teorema según el cual, para todo a coprimo con n, a elevado a φ(n) deja siempre resto 1 al dividirlo entre n. Restringido a un módulo primo, es el pequeño teorema de Fermat.
RSA: Cifrado de clave pública que emplea el producto de dos primos grandes como clave pública. La clave privada necesita φ(n), y el hecho de que φ(n) no se obtenga sin descomponer n es uno de los fundamentos de su seguridad.

Preguntas frecuentes

Además de ser fundamental en teoría de números, es central en criptografía, especialmente en la generación de claves RSA. La clave privada de RSA se obtiene mediante φ(n) = (p−1)(q−1).

Por convención, se define φ(1) = 1. Aunque el único entero hasta 1 que podría considerarse es el propio 1, definir φ(1) = 1 mantiene coherentes las propiedades multiplicativas de la función, la convención matemática estándar.

Sí. Como un primo p no tiene divisores aparte de 1 y sí mismo, todos los enteros del 1 al p salvo p son coprimos con él, por lo que φ(p) = p − 1.

RSA usa un número compuesto n = pq, producto de dos primos grandes, como parte de la clave pública. Calcular la clave privada requiere φ(n) = (p−1)(q−1), pero φ(n) no puede hallarse sin factorizar n; esta dificultad de factorizar números grandes es la base de la seguridad de RSA.

A propósito — La función del siglo XVIII que cuenta lo coprimo

La función φ de Euler fue introducida hacia 1763 por el matemático suizo Leonhard Euler, originalmente al generalizar el pequeño teorema de Fermat a números compuestos. El símbolo φ (fi), hoy estándar, fue adoptado más tarde por otros matemáticos que sistematizaron la notación.

Contar números coprimos puede sonar sencillo, pero φ(n) tiene varias propiedades elegantes. Por ejemplo, si se suma φ(d) para cada divisor d de n, el resultado siempre es n (Σφ(d) = n), una de las identidades fundamentales de la teoría elemental de números.

Hoy en día, φ(n) desempeña un papel esencial en la criptografía RSA. RSA utiliza el producto de dos primos grandes n = pq como parte de la clave pública, y calcular la clave privada requiere φ(n) = (p−1)(q−1). El hecho de que φ(n) no pueda calcularse sin factorizar n (al menos con los algoritmos conocidos actualmente) es uno de los pilares de la seguridad de RSA.

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