Calculadora de la función φ de Euler (indicatriz de Euler)
Introduce un entero N (1 a 1.000.000) para calcular al instante cuántos enteros entre 1 y N son coprimos con N (función φ de Euler φ(N)), con la factorización prima y la fórmula empleada. Incluye una tabla de referencia de φ(n) del 1 al 100.
Tabla de referencia de φ(n) del 1 al 100
Una tabla que resume la factorización prima y el valor de la función φ de Euler para cada entero del 1 al 100.
| N | Factorización | φ(n) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 1 |
| 3 | 3 | 2 |
| 4 | 2² | 2 |
| 5 | 5 | 4 |
| 6 | 2 × 3 | 2 |
| 7 | 7 | 6 |
| 8 | 2³ | 4 |
| 9 | 3² | 6 |
| 10 | 2 × 5 | 4 |
| 11 | 11 | 10 |
| 12 | 2² × 3 | 4 |
| 13 | 13 | 12 |
| 14 | 2 × 7 | 6 |
| 15 | 3 × 5 | 8 |
| 16 | 2⁴ | 8 |
| 17 | 17 | 16 |
| 18 | 2 × 3² | 6 |
| 19 | 19 | 18 |
| 20 | 2² × 5 | 8 |
| 21 | 3 × 7 | 12 |
| 22 | 2 × 11 | 10 |
| 23 | 23 | 22 |
| 24 | 2³ × 3 | 8 |
| 25 | 5² | 20 |
| 26 | 2 × 13 | 12 |
| 27 | 3³ | 18 |
| 28 | 2² × 7 | 12 |
| 29 | 29 | 28 |
| 30 | 2 × 3 × 5 | 8 |
| 31 | 31 | 30 |
| 32 | 2⁵ | 16 |
| 33 | 3 × 11 | 20 |
| 34 | 2 × 17 | 16 |
| 35 | 5 × 7 | 24 |
| 36 | 2² × 3² | 12 |
| 37 | 37 | 36 |
| 38 | 2 × 19 | 18 |
| 39 | 3 × 13 | 24 |
| 40 | 2³ × 5 | 16 |
| 41 | 41 | 40 |
| 42 | 2 × 3 × 7 | 12 |
| 43 | 43 | 42 |
| 44 | 2² × 11 | 20 |
| 45 | 3² × 5 | 24 |
| 46 | 2 × 23 | 22 |
| 47 | 47 | 46 |
| 48 | 2⁴ × 3 | 16 |
| 49 | 7² | 42 |
| 50 | 2 × 5² | 20 |
| 51 | 3 × 17 | 32 |
| 52 | 2² × 13 | 24 |
| 53 | 53 | 52 |
| 54 | 2 × 3³ | 18 |
| 55 | 5 × 11 | 40 |
| 56 | 2³ × 7 | 24 |
| 57 | 3 × 19 | 36 |
| 58 | 2 × 29 | 28 |
| 59 | 59 | 58 |
| 60 | 2² × 3 × 5 | 16 |
| 61 | 61 | 60 |
| 62 | 2 × 31 | 30 |
| 63 | 3² × 7 | 36 |
| 64 | 2⁶ | 32 |
| 65 | 5 × 13 | 48 |
| 66 | 2 × 3 × 11 | 20 |
| 67 | 67 | 66 |
| 68 | 2² × 17 | 32 |
| 69 | 3 × 23 | 44 |
| 70 | 2 × 5 × 7 | 24 |
| 71 | 71 | 70 |
| 72 | 2³ × 3² | 24 |
| 73 | 73 | 72 |
| 74 | 2 × 37 | 36 |
| 75 | 3 × 5² | 40 |
| 76 | 2² × 19 | 36 |
| 77 | 7 × 11 | 60 |
| 78 | 2 × 3 × 13 | 24 |
| 79 | 79 | 78 |
| 80 | 2⁴ × 5 | 32 |
| 81 | 3⁴ | 54 |
| 82 | 2 × 41 | 40 |
| 83 | 83 | 82 |
| 84 | 2² × 3 × 7 | 24 |
| 85 | 5 × 17 | 64 |
| 86 | 2 × 43 | 42 |
| 87 | 3 × 29 | 56 |
| 88 | 2³ × 11 | 40 |
| 89 | 89 | 88 |
| 90 | 2 × 3² × 5 | 24 |
| 91 | 7 × 13 | 72 |
| 92 | 2² × 23 | 44 |
| 93 | 3 × 31 | 60 |
| 94 | 2 × 47 | 46 |
| 95 | 5 × 19 | 72 |
| 96 | 2⁵ × 3 | 32 |
| 97 | 97 | 96 |
| 98 | 2 × 7² | 42 |
| 99 | 3² × 11 | 60 |
| 100 | 2² × 5² | 40 |
Consejos
- La función φ de Euler φ(n) cuenta los enteros entre 1 y n que son coprimos con n. Por ejemplo, φ(9) = 6 (1, 2, 4, 5, 7 y 8 son coprimos con 9).
- Si n es un número primo p, entonces φ(p) = p − 1, porque todos los números del 1 al p salvo p mismo son coprimos con un primo.
- Si n es el producto de dos primos distintos p y q, φ(pq) = (p−1)(q−1), una propiedad que se usa directamente en la generación de claves RSA.
- La fórmula φ(n) = n × Π(1 − 1/p) es un producto sobre los factores primos distintos p de n; el exponente de cada primo no afecta al resultado.
- Esta herramienta admite el rango de 1 a 1.000.000 y calcula φ(n) al instante mediante factorización por división de prueba.
Preguntas frecuentes
A propósito — La función del siglo XVIII que cuenta lo coprimo
La función φ de Euler fue introducida hacia 1763 por el matemático suizo Leonhard Euler, originalmente al generalizar el pequeño teorema de Fermat a números compuestos. El símbolo φ (fi), hoy estándar, fue adoptado más tarde por otros matemáticos que sistematizaron la notación.
Contar números coprimos puede sonar sencillo, pero φ(n) tiene varias propiedades elegantes. Por ejemplo, si se suma φ(d) para cada divisor d de n, el resultado siempre es n (Σφ(d) = n), una de las identidades fundamentales de la teoría elemental de números.
Hoy en día, φ(n) desempeña un papel esencial en la criptografía RSA. RSA utiliza el producto de dos primos grandes n = pq como parte de la clave pública, y calcular la clave privada requiere φ(n) = (p−1)(q−1). El hecho de que φ(n) no pueda calcularse sin factorizar n (al menos con los algoritmos conocidos actualmente) es uno de los pilares de la seguridad de RSA.