Calculadora de números figurados (triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales)
Calcula números triangulares, cuadrados, pentagonales y hexagonales desde el primer término hasta el término N y compáralos en un gráfico. Calcula al instante el valor de cualquier término n. Incluye una tabla de referencia para los términos del 1 al 15.
Tabla de referencia para los términos del 1 al 15 (triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales)
Una tabla con los valores de los cuatro tipos de números figurados desde el término 1 hasta el 15.
| n | Números triangulares | Números cuadrados | Números pentagonales | Números hexagonales |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| 6 | 21 | 36 | 51 | 66 |
| 7 | 28 | 49 | 70 | 91 |
| 8 | 36 | 64 | 92 | 120 |
| 9 | 45 | 81 | 117 | 153 |
| 10 | 55 | 100 | 145 | 190 |
| 11 | 66 | 121 | 176 | 231 |
| 12 | 78 | 144 | 210 | 276 |
| 13 | 91 | 169 | 247 | 325 |
| 14 | 105 | 196 | 287 | 378 |
| 15 | 120 | 225 | 330 | 435 |
Qué son los números figurados
Un número figurado cuenta los puntos al disponerlos con regularidad formando un polígono. Colocados en triángulo dan los números triangulares 1, 3, 6, 10 y siguientes; en cuadrado, los cuadrados 1, 4, 9, 16; en pentágono, los pentagonales 1, 5, 12, 22. **Los números cuadrados coinciden con los cuadrados perfectos** porque los puntos dispuestos en cuadrado suman exactamente n × n: un ejemplo llano de geometría y álgebra encontrándose de frente.
Cada familia tiene una fórmula cerrada sencilla: n(n+1)/2 para los triangulares, n² para los cuadrados, n(3n−1)/2 para los pentagonales y n(2n−1) para los hexagonales. También se conocen relaciones entre ellas: **dos números triangulares consecutivos suman un número cuadrado**, y **los hexagonales coinciden con los triangulares de índice impar.** Ver aparecer esas conexiones inesperadas constituye buena parte del atractivo. Esta herramienta calcula desde el primer término hasta el enésimo y los compara en una gráfica, y también puede darle un término aislado.
Cómo calcular números figurados
- Elija la familia Seleccione triangulares, cuadrados, pentagonales o hexagonales.
- Indique cuántos términos mostrar Del primero al enésimo aparecen como lista y como gráfica.
- Compare el crecimiento en la gráfica Se aprecia a simple vista que cuantos más lados tiene el polígono, más deprisa sube la sucesión.
- Obtenga un término aislado Para un n grande puede pedir únicamente el valor de ese término.
Consejos para aprovecharla mejor
- Los números triangulares T(n) = n(n+1)/2 cuentan el total de puntos al apilarlos en un triángulo equilátero. La clásica disposición de bolos de bolera (10 bolos) es el número triangular T(4) = 10.
- Los números cuadrados S(n) = n² cuentan el total de puntos dispuestos en un cuadrado. También son conocidos por la propiedad de que sumar números impares consecutivos produce un número cuadrado (1, 1+3=4, 1+3+5=9, ...).
- Los números pentagonales P(n) = n(3n-1)/2 y los números hexagonales H(n) = n(2n-1) cuentan puntos dispuestos en un pentágono y un hexágono regulares, respectivamente. Todo número hexagonal es también un número triangular (H(n) = T(2n-1)).
- El gráfico permite comparar la rapidez de crecimiento de los cuatro tipos. Para el mismo n, las formas con más vértices (3, 4, 5, 6) tienden a producir valores mayores.
- Esta herramienta admite cálculos hasta el término 1000. Como los valores crecen rápidamente para n grandes, la visualización del gráfico y la tabla se limita a 1-30 términos por legibilidad.
Situaciones en las que resulta útil
Estudiar sucesiones
Contraste la deducción de una fórmula cerrada con los valores reales para confirmar qué significa la expresión.
Verificar relaciones entre sucesiones
Compruebe con cifras concretas que dos triangulares consecutivos suman de veras un cuadrado.
Ejercicios de programación
Compare con los valores correctos una función que haya escrito para producir números figurados.
Documentarse para acertijos y matemática de competición
Los números figurados asoman a menudo en problemas de teoría de números, y una tabla de valores facilita ver el patrón.
Términos de números figurados
- Número triangular
- El recuento de puntos dispuestos en triángulo, con fórmula cerrada n(n+1)/2. **Equivale a la suma de los enteros de uno hasta n.**
- Número cuadrado
- El recuento de puntos dispuestos en cuadrado, a saber n².
- Número pentagonal
- El recuento de puntos dispuestos en pentágono regular, a saber n(3n−1)/2.
- Número hexagonal
- El recuento de puntos dispuestos en hexágono regular, a saber n(2n−1). **Coinciden con los triangulares de índice impar.**
- Fórmula cerrada
- Una expresión que da el término enésimo de una sucesión en función de n. Toda familia de números figurados posee una sencilla.
- Teorema de los números poligonales
- El resultado según el cual todo número natural es suma de a lo sumo tres triangulares, cuatro cuadrados o cinco pentagonales.
Preguntas frecuentes
A propósito — Los pitagóricos y el "misterio de los números" hallado en los números figurados
El estudio de los números figurados (poligonales) se remonta a la escuela pitagórica de la antigua Grecia, alrededor del siglo VI a. C. Guiados por la creencia de que "todo es número", disponían piedrecillas en formas geométricas para comprender visualmente las propiedades de los números. Los propios nombres "números triangulares" y "cuadrados" provienen de las formas que adoptan los puntos al disponerlos.
Existe una relación hermosa entre los números triangulares y los cuadrados: sumar dos números triangulares consecutivos siempre produce un número cuadrado (por ejemplo, T(3)+T(4) = 6+10 = 16 = 4²). Esto se vuelve intuitivo al dibujar realmente la disposición de los puntos. Técnicas de demostración geométrica como esta influyeron enormemente en el desarrollo posterior de la teoría de números.
Los números figurados siguen siendo objeto de estudio activo en las matemáticas modernas; por ejemplo, la propiedad de que "todo número hexagonal es también triangular", o la búsqueda de números que satisfacen varias definiciones de número figurado a la vez, siguen siendo ejercicios populares en teoría de números hoy en día. Es admirable que muchas propiedades que los pitagóricos descubrieron hace 2500 años, disponiendo piedrecillas a mano sin papel ni cálculo escrito, sigan siendo teoremas válidos en la actualidad.