Calculateur de coefficients de séries de Fourier

Calculateur gratuit de séries de Fourier qui détermine les coefficients a₀, aₙ et bₙ de n'importe quelle fonction par intégration numérique. Saisissez une expression, l'intervalle de la période et l'harmonique la plus élevée, puis comparez la série reconstruite à la fonction d'origine.

Ce que fait ce calculateur de coefficients de Fourier

Cet outil détermine par intégration numérique les coefficients de Fourier de n'importe quelle fonction. Saisissez une expression pour f(x), l'intervalle qui tient lieu de période et l'harmonique la plus élevée souhaitée : vous obtenez le terme constant a₀ ainsi que aₙ et bₙ pour chaque harmonique sous forme de tableau, avec un tracé de la série reconstruite superposé à la fonction d'origine. Les formes d'onde classiques comme le carré ou le triangulaire, dont les coefficients ont une forme fermée, relèvent de notre visualiseur de séries de Fourier ; cette page sert à essayer des expressions que votre manuel ne recense pas.

L'intégration utilise la méthode de Simpson et découpe la période en 2000 morceaux par défaut, de sorte que les coefficients affichés sont des approximations et non des valeurs exactes. Pour une fonction régulière, ils coïncident généralement sur six chiffres significatifs environ ; en revanche une fonction présentant un point anguleux — comme une valeur absolue — ou qui saute aux bornes de l'intervalle gagne à disposer de davantage de subdivisions. Vous pouvez en fixer de 10 à 20000 : augmentez la valeur jusqu'à ce que les chiffres se stabilisent.

Comment utiliser le calculateur de coefficients de Fourier

Saisissez une fonction Écrivez une expression pour f(x). La variable est x et pi désigne π. Les boutons en dessous insèrent quelques exemples courants.
Définissez l'intervalle de la période Indiquez le début et la fin. Ces champs acceptent aussi des expressions, donc -pi et 2*pi fonctionnent. La largeur de l'intervalle devient la période T.
Choisissez l'harmonique la plus élevée Le curseur indique jusqu'à quelle harmonique vous voulez des coefficients, de 1 à 50.
Lisez les résultats Vous obtenez le tableau des coefficients et un graphique où la série est tracée par-dessus la fonction d'origine. Plus le résidu est faible, mieux ces harmoniques reproduisent votre fonction.

Astuces pour en tirer le meilleur parti

Pour une fonction qui saute aux bornes de l'intervalle — f(x) = x par exemple — la série dépasse la cible près du saut. Ajouter des harmoniques ne l'élimine jamais : lisez donc la forme du graphique en même temps que la valeur du résidu, et pas seulement le chiffre.
Les coefficients censés être exactement nuls ressortent autour de 1e-16 en intégration numérique. Le tableau affiche comme 0 tout ce qui reste sous 1e-10 en valeur absolue ; si des valeurs plus grandes apparaissent dans une colonne censée être vide, essayez d'augmenter les subdivisions.
Pour une fonction paire (f(−x) = f(x)) tous les bₙ disparaissent, et pour une fonction impaire ce sont a₀ et tous les aₙ. C'est un moyen rapide de confirmer un argument de symétrie plutôt que de le tenir pour acquis.
Si vous cherchez les coefficients d'un signal carré, triangulaire, en dents de scie ou redressé simple alternance, notre visualiseur de séries de Fourier s'appuie sur les expressions fermées et donne des valeurs exactes.

À quoi sert le calculateur de coefficients de Fourier

Vérifier une feuille d'exercices

Comparez harmonique par harmonique les a₀, aₙ et bₙ obtenus à la main avec les valeurs affichées ici. Un signe oublié ou un 1/n écrit à la place de 1/n² saute aux yeux immédiatement.

Essayer des fonctions absentes des manuels

Des expressions comme exp(-x^2) ou x*sin(x) sont fastidieuses à intégrer à la main, alors qu'ici leurs coefficients s'obtiennent en un clic.

Confirmer l'apport de la symétrie

Alternez entre fonctions paires, impaires et à symétrie de demi-onde et observez quels coefficients s'annulent. La règle de symétrie cesse d'être apprise par cœur pour devenir constatée.

Voir l'effet d'un changement de période

La même expression a une autre pulsation lorsque la largeur de l'intervalle change. Comparez −1 à 1 avec −pi à pi et vous verrez précisément comment les coefficients réagissent.

Le vocabulaire du calcul des coefficients de Fourier

Coefficients de Fourier: Le nom collectif de a₀, aₙ et bₙ. Chacun est l'intégrale de la fonction multipliée par un cosinus ou un sinus sur une période, divisée par la demi-période.
Période T: La largeur de l'intervalle saisi. Une série de Fourier considère que la fonction se répète avec cette largeur : le choix de l'intervalle façonne donc le résultat.
Pulsation: La quantité ω = 2π/T. L'harmonique n a la pulsation nω et entre dans la série sous la forme cos(nωx) et sin(nωx).
Méthode de Simpson: Une méthode d'intégration numérique qui découpe l'intervalle en un nombre pair de morceaux et fait passer une parabole par chaque triplet de points. Son erreur varie comme la puissance quatrième du pas : doubler les subdivisions la divise environ par seize.
Amplitude et phase: La taille et le décalage horizontal obtenus en regroupant aₙcos et bₙsin en un seul cosinus A·cos(nωx + φ). Ici A = √(aₙ² + bₙ²) et φ = atan2(−bₙ, aₙ).
Résidu: L'écart entre la fonction d'origine et la série reconstruite. Cette page en indique la moyenne quadratique aux nœuds d'intégration, comme mesure de la qualité de reproduction obtenue avec les harmoniques demandées.

Questions fréquentes sur le calcul des coefficients de Fourier

Intégrer symboliquement une expression quelconque suppose un système de calcul formel, difficile à faire tourner de façon sûre et entièrement dans un navigateur. Cet outil s'appuie donc sur une intégration numérique par la méthode de Simpson. Pour une fonction régulière, les 2000 subdivisions par défaut coïncident généralement sur six chiffres significatifs environ. Si vous voulez des coefficients exacts sous forme fermée pour les formes d'onde classiques, utilisez notre visualiseur de séries de Fourier.

C'est le bruit d'arrondi de l'intégration numérique. Le tableau affiche comme 0 tout ce qui reste sous 1e-10 en valeur absolue. Si des valeurs plus grandes apparaissent là où vous n'attendez rien, votre fonction comporte probablement un point anguleux ou un saut : augmentez les subdivisions et vérifiez si les chiffres se stabilisent.

Les quatre opérations, le reste, les puissances et les factorielles ; sin, cos, tan, asin, acos et atan ; log (base 10), ln (logarithme népérien), sqrt, abs et exp ; ainsi que les constantes pi et e. Les arguments trigonométriques sont traités en radians. La multiplication implicite comme 2x ou 3sin(x) est complétée automatiquement.

Soit il manque des harmoniques, soit la fonction ne se raccorde pas périodiquement aux bornes de l'intervalle. Une série de Fourier considère tout ce qui se trouve à l'extérieur comme une répétition de l'intervalle : lorsque f(début) et f(fin) diffèrent, un saut apparaît à cet endroit et la série y dépasse toujours la cible. Déplacer l'intervalle règle souvent le problème.

Anecdote — des tonneaux de vin à la FFT, le long chemin de l'intégration numérique

La méthode de Simpson sur laquelle repose cet outil porte le nom du mathématicien anglais Thomas Simpson, qui présenta la formule en 1743. La même idée était pourtant déjà employée plus d'un siècle plus tôt par Johannes Kepler — non pour la mécanique céleste, mais pour estimer le volume des tonneaux de vin. Dans les pays germanophones on l'appelle encore parfois la règle du tonneau de Kepler. Approcher par des paraboles l'aire délimitée par une courbe se révèle être un morceau d'arithmétique pratique fort ancien.

Calculer numériquement des coefficients de Fourier mène tout droit à la transformée de Fourier discrète. Menée naïvement avec N points, elle demande N² multiplications, et c'est en ramenant ce coût à N log N que Cooley et Tukey ont établi la transformée de Fourier rapide en 1965. Peu après la parution de leur article, on s'est aperçu que Gauss avait écrit vers 1805 un algorithme essentiellement identique. Il ne l'a jamais publié : le texte n'a paru que dans ses œuvres posthumes, où il dormait depuis un siècle et demi.

Estimer l'erreur d'une intégration numérique revient, en pratique, à décider où s'arrêter. L'erreur de la méthode de Simpson est proportionnelle à la puissance quatrième du pas : doubler les subdivisions la divise environ par seize. Cette estimation suppose toutefois un intégrande suffisamment régulier et s'effondre aux points où la fonction n'est pas dérivable. Saisissez abs(x) dans cet outil en faisant varier les subdivisions : la précision progresse nettement moins docilement qu'avec une fonction régulière. Observer le déplacement des chiffres est une bonne manière de sentir si les hypothèses d'un théorème sont réellement satisfaites.

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