Fourier-Koeffizienten-Rechner

Kostenloser Fourier-Reihen-Rechner, der die Fourier-Koeffizienten a₀, aₙ und bₙ beliebiger Funktionen per numerischer Integration bestimmt. Geben Sie einen Ausdruck, das Periodenintervall und die höchste Ordnung ein und sehen Sie die rekonstruierte Reihe über der ursprünglichen Funktion.

Was dieser Fourier-Koeffizienten-Rechner leistet

Dieses Werkzeug bestimmt die Fourier-Koeffizienten beliebiger Funktionen per numerischer Integration. Geben Sie einen Ausdruck für f(x), das Intervall, das als Periode dient, und die gewünschte höchste Ordnung ein, und Sie erhalten das konstante Glied a₀ zusammen mit aₙ und bₙ für jede Ordnung als Tabelle sowie eine Darstellung der rekonstruierten Reihe über der ursprünglichen Funktion. Klassische Schwingungsformen wie Rechteck und Dreieck, deren Koeffizienten eine geschlossene Form besitzen, deckt unsere Visualisierung der Fourier-Reihe ab; diese Seite ist zum Ausprobieren von Ausdrücken gedacht, die im Lehrbuch nicht stehen.

Die Integration verwendet die Simpsonregel und teilt die Periode standardmäßig in 2000 Stücke. Die angezeigten Koeffizienten sind deshalb Näherungen und keine exakten Werte. Bei einer glatten Funktion stimmen sie meist auf etwa sechs signifikante Stellen überein; eine Funktion mit Knick – etwa ein Betrag – oder mit einem Sprung an den Intervallenden profitiert dagegen von mehr Unterteilungen. Einstellbar sind 10 bis 20000, erhöhen Sie den Wert also, bis sich die Ziffern nicht mehr bewegen.

So benutzen Sie den Fourier-Koeffizienten-Rechner

Funktion eingeben Tragen Sie einen Ausdruck für f(x) ein. Die Variable heißt x, pi steht für π. Die Schaltflächen darunter füllen einige gängige Beispiele ein.
Periodenintervall festlegen Geben Sie Anfang und Ende ein. Auch hier sind Ausdrücke erlaubt, -pi und 2*pi funktionieren also. Die Breite des Intervalls wird zur Periode T.
Höchste Ordnung wählen Legen Sie mit dem Schieberegler fest, bis zu welcher Ordnung Sie Koeffizienten möchten – zwischen 1 und 50.
Ergebnisse lesen Sie erhalten die Koeffiziententabelle und ein Diagramm mit der Reihe über der ursprünglichen Funktion. Je kleiner der Restfehler, desto besser geben diese Ordnungen Ihre Funktion wieder.

Tipps für die Nutzung

Bei einer Funktion, die an den Intervallenden springt – etwa f(x) = x – schießt die Reihe in der Nähe des Sprungs über das Ziel hinaus. Mehr Ordnungen beseitigen das nie, lesen Sie also die Form des Diagramms zusammen mit dem Restfehler und nicht nur die Zahl.
Koeffizienten, die exakt null sein sollten, kommen bei numerischer Integration bei etwa 1e-16 heraus. Die Tabelle zeigt alles unter 1e-10 im Betrag als 0 an; erscheinen in einer eigentlich leeren Spalte größere Werte, erhöhen Sie die Zahl der Unterteilungen.
Bei einer geraden Funktion (f(−x) = f(x)) verschwinden alle bₙ, bei einer ungeraden a₀ und sämtliche aₙ. Damit lässt sich ein Symmetrieargument schnell überprüfen, statt es einfach zu glauben.
Wenn Sie die Koeffizienten einer Rechteck-, Dreieck-, Sägezahn- oder einweggleichgerichteten Schwingung brauchen, liefert unsere Visualisierung der Fourier-Reihe über die geschlossenen Formeln exakte Werte.

Wofür sich der Fourier-Koeffizienten-Rechner eignet

Übungsaufgaben nachrechnen

Vergleichen Sie die von Hand bestimmten a₀, aₙ und bₙ Ordnung für Ordnung mit den Werten hier. Ein verlorenes Vorzeichen oder ein 1/n, wo 1/n² hingehört, fällt sofort auf.

Funktionen ausprobieren, die kein Lehrbuch führt

Ausdrücke wie exp(-x^2) oder x*sin(x) sind von Hand mühsam zu integrieren, hier sind ihre Koeffizienten einen Klick entfernt.

Prüfen, was Symmetrie einbringt

Wechseln Sie zwischen geraden, ungeraden und halbwellensymmetrischen Funktionen und beobachten Sie, welche Koeffizienten wegfallen. Aus einer auswendig gelernten Regel wird eine beobachtete Tatsache.

Sehen, was das Ändern der Periode bewirkt

Derselbe Ausdruck hat bei anderer Intervallbreite eine andere Kreisfrequenz. Vergleichen Sie −1 bis 1 mit −pi bis pi, und Sie sehen genau, wie die Koeffizienten reagieren.

Begriffe der Fourier-Koeffizientenrechnung

Fourier-Koeffizienten: Die Sammelbezeichnung für a₀, aₙ und bₙ. Jeder ist das Integral der mit einem Kosinus oder Sinus multiplizierten Funktion über eine Periode, geteilt durch die halbe Periode.
Periode T: Die Breite des eingegebenen Intervalls. Eine Fourier-Reihe behandelt die Funktion so, als wiederhole sie sich mit dieser Breite; die Wahl des Intervalls prägt daher das Ergebnis.
Kreisfrequenz: Die Größe ω = 2π/T. Die n-te Oberwelle hat die Kreisfrequenz nω und erscheint in der Reihe als cos(nωx) und sin(nωx).
Simpsonregel: Ein Verfahren der numerischen Integration, das das Intervall in eine gerade Anzahl von Stücken teilt und durch je drei Punkte eine Parabel legt. Der Fehler geht mit der vierten Potenz der Schrittweite, eine Verdopplung der Unterteilungen verkleinert ihn also etwa auf ein Sechzehntel.
Amplitude und Phase: Größe und waagerechte Verschiebung, die entstehen, wenn aₙcos und bₙsin zu einem einzelnen Kosinus A·cos(nωx + φ) zusammengefasst werden. Hier ist A = √(aₙ² + bₙ²) und φ = atan2(−bₙ, aₙ).
Restfehler: Die Differenz zwischen der ursprünglichen Funktion und der rekonstruierten Reihe. Diese Seite gibt ihr quadratisches Mittel an den Integrationsstützstellen an, als Maß dafür, wie gut die angeforderten Ordnungen die Funktion wiedergeben.

Häufige Fragen zur Berechnung von Fourier-Koeffizienten

Einen beliebigen Ausdruck symbolisch zu integrieren erfordert ein Computeralgebrasystem, das sich schwer sicher und vollständig im Browser betreiben lässt. Stattdessen nutzt dieses Werkzeug numerische Integration nach der Simpsonregel. Bei einer glatten Funktion stimmen die voreingestellten 2000 Unterteilungen meist auf etwa sechs signifikante Stellen. Exakte geschlossene Koeffizienten für die klassischen Schwingungsformen liefert unsere Visualisierung der Fourier-Reihe.

Das ist Rundungsrauschen der numerischen Integration. Die Tabelle zeigt alles unter 1e-10 im Betrag als 0 an. Tauchen dort größere Werte auf, wo Sie nichts erwarten, hat Ihre Funktion wahrscheinlich einen Knick oder Sprung – erhöhen Sie die Unterteilungen und prüfen Sie, ob sich die Zahlen beruhigen.

Die vier Grundrechenarten, Rest, Potenzen und Fakultäten; sin, cos, tan, asin, acos und atan; log (Zehnerlogarithmus), ln (natürlicher Logarithmus), sqrt, abs und exp; sowie die Konstanten pi und e. Trigonometrische Argumente werden im Bogenmaß gelesen. Eine ausgelassene Multiplikation wie 2x oder 3sin(x) wird automatisch ergänzt.

Entweder fehlen Ordnungen, oder die Funktion schließt an den Intervallenden nicht periodisch aneinander an. Eine Fourier-Reihe behandelt alles außerhalb des Intervalls als dessen Wiederholung; wenn f(Anfang) und f(Ende) verschieden sind, entsteht dort ein Sprung, und in dessen Nähe schießt die Reihe stets über das Ziel hinaus. Oft hilft es, das Intervall anders zu legen.

Übrigens – Von Weinfässern zur FFT: der lange Weg der numerischen Integration

Die Simpsonregel, auf die sich dieses Werkzeug stützt, trägt den Namen des englischen Mathematikers Thomas Simpson, der die Formel 1743 vorstellte. Dieselbe Idee benutzte allerdings schon über ein Jahrhundert früher Johannes Kepler – und zwar nicht für Himmelsmechanik, sondern um das Volumen von Weinfässern abzuschätzen. Im deutschsprachigen Raum heißt sie deshalb bis heute mitunter Keplersche Fassregel. Eine von einer Kurve begrenzte Fläche durch aneinandergereihte Parabeln anzunähern erweist sich als ein recht altes Stück praktischer Rechenkunst.

Fourier-Koeffizienten numerisch zu bestimmen führt unmittelbar zur diskreten Fourier-Transformation. Naiv gerechnet braucht sie bei N Datenpunkten N² Multiplikationen; diese Zahl auf N log N zu drücken gelang Cooley und Tukey 1965 mit der schnellen Fourier-Transformation. Kurz nach dem Erscheinen ihres Aufsatzes fiel auf, dass Gauß um 1805 im Kern denselben Algorithmus notiert hatte. Er veröffentlichte ihn nie; er kam erst in den nachgelassenen Werken ans Licht, wo er anderthalb Jahrhunderte unbeachtet lag.

Den Fehler einer numerischen Integration abzuschätzen entscheidet in der Praxis darüber, wo man aufhört. Der Fehler der Simpsonregel ist proportional zur vierten Potenz der Schrittweite, eine Verdopplung der Unterteilungen verkleinert ihn also etwa auf ein Sechzehntel. Diese Abschätzung setzt allerdings voraus, dass der Integrand hinreichend glatt ist, und sie bricht an Stellen zusammen, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist. Geben Sie hier abs(x) ein und verändern Sie die Zahl der Unterteilungen: die Genauigkeit steigt deutlich weniger folgsam als bei einer glatten Funktion. Zu beobachten, wie sich die Ziffern bewegen, ist eine gute Übung darin, zu erkennen, ob die Voraussetzungen eines Satzes wirklich erfüllt sind.

Alle Wissenstexte ansehen