Visualiseur de séries de Fourier

Visualiseur gratuit de séries de Fourier pour les signaux carré, triangulaire, en dents de scie et redressé simple alternance. Réglez le nombre de termes de 1 à 50 et suivez la convergence de la somme partielle, le spectre des harmoniques et l'apparition du dépassement de Gibbs.

Ce que fait une série de Fourier

Une série de Fourier réécrit une fonction périodique comme une somme de sinus et de cosinus. Ce visualiseur couvre quatre formes d'onde classiques — carré, triangulaire, dents de scie et redressé simple alternance — en utilisant les coefficients sous forme fermée que l'on trouve dans tous les manuels. En faisant varier le nombre de termes, vous voyez sur le graphique la somme partielle se rapprocher du signal d'origine. Aucune intégration numérique n'intervient : les coefficients affichés sont exacts à l'arrondi de la double précision près.

Le plus instructif est la différence de vitesse de convergence entre les quatre signaux. Pour le carré et les dents de scie, les coefficients décroissent en 1/n, si bien que l'ondulation près des angles survit même à un grand nombre de termes. Le triangulaire décroît en 1/n² et, dès une dizaine de termes, il se superpose presque exactement au signal d'origine. Pour les formes présentant un véritable saut, aucun nombre de termes ne supprime le dépassement d'environ 9 % qui apparaît juste avant la discontinuité, et cette valeur se suit directement dans l'indicateur du maximum de la somme partielle.

Comment utiliser le visualiseur de séries de Fourier

Choisissez une forme d'onde Vous pouvez choisir entre le carré, le triangulaire, les dents de scie et le redressé simple alternance. La série correspondante et une note sur sa convergence apparaissent juste sous le sélecteur.
Déplacez le curseur des termes N va de 1 à 50. La ligne orange continue est la somme partielle et la ligne grise en pointillés le signal d'origine.
Lisez les indicateurs de convergence L'erreur quadratique moyenne et l'erreur maximale disent en chiffres ce que rapporte chaque terme supplémentaire. Le maximum de la somme partielle mesure le dépassement.
Comparez le tableau et le spectre Le diagramme en barres et le tableau montrent tous deux quelles harmoniques portent quelle amplitude. Pour le carré, on voit d'emblée que toutes les harmoniques paires sont vides.

Astuces pour en tirer le meilleur parti

Réglez le carré sur N = 5, puis 15, puis 45. Les ondulations se multiplient mais perdent à peine en hauteur : c'est le phénomène de Gibbs, et le dépassement reste autour de 9 % quel que soit le nombre de termes ajoutés.
Comparez le triangulaire et le carré au même N. L'écart entre une décroissance en 1/n² et en 1/n se voit immédiatement : les valeurs d'erreur diffèrent généralement d'un ordre de grandeur ou plus.
Seul le signal redressé simple alternance possède un terme constant. Si vous vous êtes déjà demandé pourquoi la sortie d'un redresseur conserve une composante continue, le 1/π de sa série est la réponse.
Si vous avez besoin des coefficients d'une fonction de votre choix, utilisez notre calculateur de coefficients de Fourier, qui obtient a₀, aₙ et bₙ par intégration numérique.

À quoi sert le visualiseur de séries de Fourier

Suivre un cours ou un manuel de circuits

Une série sous forme fermée sur le papier ne dit rien de sa vitesse de convergence. Voir le signal se construire terme à terme relie la forme de la formule à celle du résultat.

Travailler sur la distorsion harmonique

Le fait qu'un signal carré ne contienne que des harmoniques impaires alors que les dents de scie en contiennent aussi des paires est une hypothèse de départ en conception de filtres et en compatibilité électromagnétique. Le diagramme en barres rend la différence évidente.

Comprendre le ringing en traitement du signal

Limiter le nombre de termes équivaut exactement à limiter la bande passante, et l'ondulation visible près des angles est le même ringing que produit un filtre passe-bas raide.

Expliquer le timbre d'un instrument

Deux notes de même fréquence fondamentale sonnent différemment si leur contenu harmonique diffère. Comparer les spectres du carré et du triangulaire en est l'exemple le plus clair.

Le vocabulaire des séries de Fourier

Série de Fourier: Représentation d'une fonction périodique comme somme de sinus et de cosinus dont les périodes sont la période initiale divisée par un entier. En principe, cette somme ne s'arrête jamais.
Somme partielle: La somme finie obtenue en coupant une série infinie au terme N. La ligne orange continue de cette page est une somme partielle.
Fondamentale: La composante n = 1, qui a la même période que la fonction initiale. Pour un son musical, c'est elle qui fixe la hauteur.
Harmonique: Composante dont la fréquence est un multiple entier de la fondamentale. L'harmonique n se situe à n fois la fréquence fondamentale et façonne le timbre ainsi que la netteté des angles.
Composante continue: La composante de fréquence nulle, égale à la moyenne de la fonction sur une période. Elle apparaît ici comme le terme constant a₀/2.
Phénomène de Gibbs: Le dépassement d'une somme partielle de Fourier juste avant une discontinuité de saut. Ajouter des termes réduit la largeur de la zone concernée mais laisse le dépassement autour de 9 %.
Erreur quadratique moyenne: La racine carrée de la moyenne des carrés de l'écart entre le signal d'origine et la somme partielle sur une période. C'est le chiffre habituel pour résumer la qualité de l'approximation.

Questions fréquentes sur les séries de Fourier

Pour une fonction présentant un saut, la somme partielle dépasse toujours la cible juste avant ce saut. C'est le phénomène de Gibbs, et l'ampleur du dépassement reste d'environ 9 % indépendamment du nombre de termes. Ce qui diminue, c'est la largeur de la zone concernée, et c'est pourquoi l'erreur quadratique moyenne continue de baisser régulièrement.

Le signal carré possède une symétrie de demi-onde : décalé d'une demi-période, il change de signe. Pour toute forme d'onde ayant cette symétrie, tous les coefficients d'ordre pair sont exactement nuls, d'où les barres paires vides dans le spectre. Les dents de scie n'ont pas cette symétrie, leurs harmoniques paires apparaissent donc.

Oui. Pour ces quatre formes d'onde, l'outil utilise directement les expressions fermées des manuels : les valeurs sont exactes à l'arrondi de la double précision près et ne sont pas des approximations numériques. Traiter une fonction quelconque exige une intégration numérique, et c'est pourquoi cette partie fait l'objet d'un outil distinct.

Utilisez notre calculateur de coefficients de Fourier, qui les obtient par intégration numérique. Saisissez une expression, l'intervalle de la période et l'harmonique la plus élevée souhaitée, et vous obtenez a₀, aₙ et bₙ sous forme de tableau ainsi qu'un tracé du signal reconstruit.

Anecdote — quand on affirmait qu'un angle ne pouvait pas être fait de courbes lisses

Les séries de Fourier sont nées d'une idée que Joseph Fourier apporta au problème de la conduction de la chaleur en 1807. Ses contemporains ne furent pas convaincus : affirmer qu'une fonction présentant des angles pouvait s'écrire comme une somme de termes trigonométriques parfaitement lisses parut manifestement faux à Lagrange et à d'autres, et Fourier rencontra une opposition sérieuse. Il s'est avéré qu'ils n'avaient pas complètement tort — toute fonction n'a pas une série qui converge en chaque point — et déterminer lesquelles convergent est devenu l'une des questions motrices de l'analyse du XIXe siècle. Les conditions de convergence de Dirichlet et la construction soignée de l'intégrale de Riemann en sont issues.

Le phénomène de Gibbs porte le nom du physicien Josiah Willard Gibbs, alors que le premier à l'avoir décrit fut le mathématicien anglais Henry Wilbraham, en 1848. Gibbs en a traité en 1898, c'est sa version qui a circulé et le nom est resté. Le chiffre curieusement précis d'environ 8,95 % pour le dépassement provient du maximum de la fonction sinus intégral, et il est le même à chaque discontinuité de saut de n'importe quelle forme d'onde.

Ce dépassement se manifeste encore aujourd'hui dans la pratique. Coupez les hautes fréquences d'un son numérique et vous obtenez un pré-écho, un son léger qui arrive avant l'attaque à laquelle il appartient ; faites de même avec une image et vous obtenez du ringing, ces bandes qui collent à un contour net. Le flou visible aux frontières de blocs d'un JPEG très compressé a la même origine. Concevoir un filtre avec une fonction de fenêtre soigneusement choisie consiste notamment à négocier la part de ce dépassement que l'on accepte, et déplacer le curseur des termes sur cette page montre précisément ce que l'on abandonne.

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