Calcolatore dei coefficienti di Fourier

Calcolatore gratuito di serie di Fourier che ricava i coefficienti a₀, aₙ e bₙ di qualsiasi funzione per integrazione numerica. Inserite un'espressione, l'intervallo del periodo e l'armonica più alta e confrontate la serie ricostruita con la funzione originale.

Che cosa fa questo calcolatore dei coefficienti di Fourier

Questo strumento ricava per integrazione numerica i coefficienti di Fourier di qualsiasi funzione. Inserite un'espressione per f(x), l'intervallo che fa da periodo e l'armonica più alta desiderata e otterrete il termine costante a₀ insieme ad aₙ e bₙ per ogni armonica sotto forma di tabella, oltre a un grafico della serie ricostruita tracciata sopra la funzione originale. Le forme d'onda classiche come la quadra e la triangolare, i cui coefficienti hanno una forma chiusa, sono affidate al nostro visualizzatore di serie di Fourier; questa pagina serve a provare espressioni che il vostro libro di testo non riporta.

L'integrazione usa il metodo di Simpson e divide il periodo in 2000 parti per impostazione predefinita, perciò i coefficienti mostrati sono approssimazioni e non valori esatti. Per una funzione regolare di solito concordano fino a circa sei cifre significative, mentre una funzione con un punto angoloso — come un valore assoluto — o che salta agli estremi dell'intervallo rende meglio con più suddivisioni. Potete impostarne da 10 a 20000, quindi alzatele finché le cifre non smettono di muoversi.

Come usare il calcolatore dei coefficienti di Fourier

Inserite una funzione Scrivete un'espressione per f(x). La variabile è x e pi indica π. I pulsanti sottostanti inseriscono alcuni esempi comuni.
Fissate l'intervallo del periodo Indicate inizio e fine. Anche questi campi accettano espressioni, quindi -pi e 2*pi funzionano. La larghezza dell'intervallo diventa il periodo T.
Scegliete l'armonica più alta Con il cursore indicate fino a quale armonica volete i coefficienti, da 1 a 50.
Leggete i risultati Otterrete la tabella dei coefficienti e un grafico con la serie tracciata sopra la funzione originale. Più il residuo è piccolo, meglio quelle armoniche riproducono la vostra funzione.

Consigli per sfruttarlo al meglio

Con una funzione che salta agli estremi dell'intervallo — per esempio f(x) = x — la serie supera il bersaglio vicino al salto. Aggiungere armoniche non lo elimina mai, quindi guardate la forma del grafico insieme al valore del residuo e non solo il numero.
I coefficienti che dovrebbero essere esattamente nulli escono attorno a 1e-16 con l'integrazione numerica. La tabella mostra come 0 tutto ciò che sta sotto 1e-10 in valore assoluto: se vedete valori maggiori in una colonna che dovrebbe essere vuota, provate ad aumentare le suddivisioni.
In una funzione pari (f(−x) = f(x)) spariscono tutti i bₙ, in una dispari spariscono a₀ e tutti gli aₙ. È un modo rapido per confermare un argomento di simmetria invece di darlo per buono.
Se vi servono i coefficienti di un segnale quadro, triangolare, a dente di sega o a semionda raddrizzata, il nostro visualizzatore di serie di Fourier usa le espressioni chiuse e restituisce valori esatti.

Dove torna utile il calcolatore dei coefficienti di Fourier

Controllare una serie di esercizi

Confrontate armonica per armonica gli a₀, aₙ e bₙ ricavati a mano con i numeri di questa pagina. Un segno perso o un 1/n scritto al posto di 1/n² salta subito all'occhio.

Provare funzioni che nessun libro riporta

Espressioni come exp(-x^2) o x*sin(x) sono noiose da integrare a mano, ma qui i loro coefficienti sono a un clic di distanza.

Verificare che cosa porta la simmetria

Alternate funzioni pari, dispari e con simmetria di semionda e osservate quali coefficienti si annullano. La regola di simmetria smette di essere memorizzata e diventa osservata.

Vedere l'effetto di un cambio di periodo

La stessa espressione ha una pulsazione diversa quando cambia la larghezza dell'intervallo. Confrontate da −1 a 1 con da −pi a pi e vedrete esattamente come rispondono i coefficienti.

I termini del calcolo dei coefficienti di Fourier

Coefficienti di Fourier: Il nome collettivo di a₀, aₙ e bₙ. Ciascuno è l'integrale della funzione moltiplicata per un coseno o un seno su un periodo, diviso per metà del periodo.
Periodo T: La larghezza dell'intervallo inserito. Una serie di Fourier tratta la funzione come se si ripetesse con quella larghezza, quindi la scelta dell'intervallo modella il risultato.
Pulsazione: La grandezza ω = 2π/T. L'armonica n ha pulsazione nω ed entra nella serie come cos(nωx) e sin(nωx).
Metodo di Simpson: Un metodo di integrazione numerica che divide l'intervallo in un numero pari di parti e fa passare una parabola per ogni terna di punti. L'errore va con la quarta potenza del passo, quindi raddoppiare le suddivisioni lo riduce di circa sedici volte.
Ampiezza e fase: La dimensione e lo spostamento orizzontale che si ottengono combinando aₙcos e bₙsin in un unico coseno A·cos(nωx + φ). Qui A = √(aₙ² + bₙ²) e φ = atan2(−bₙ, aₙ).
Residuo: La differenza fra la funzione originale e la serie ricostruita. Questa pagina ne riporta la media quadratica nei nodi di integrazione, come misura di quanto bene le armoniche richieste riproducano la funzione.

Domande frequenti sul calcolo dei coefficienti di Fourier

Integrare simbolicamente un'espressione qualsiasi richiede un sistema di algebra computazionale, difficile da far girare in sicurezza e interamente dentro un browser. Questo strumento usa invece l'integrazione numerica con il metodo di Simpson. Per una funzione regolare le 2000 suddivisioni predefinite di solito concordano fino a circa sei cifre significative. Se volete coefficienti esatti in forma chiusa per le forme d'onda classiche, usate il nostro visualizzatore di serie di Fourier.

È rumore di arrotondamento dell'integrazione numerica. La tabella mostra come 0 tutto ciò che sta sotto 1e-10 in valore assoluto. Se compaiono valori maggiori dove non ve ne aspettate, la vostra funzione ha probabilmente un punto angoloso o un salto: aumentate le suddivisioni e verificate se i numeri si stabilizzano.

Le quattro operazioni, il resto, le potenze e i fattoriali; sin, cos, tan, asin, acos e atan; log (base 10), ln (logaritmo naturale), sqrt, abs ed exp; e le costanti pi ed e. Gli argomenti trigonometrici sono trattati in radianti. La moltiplicazione implicita come 2x o 3sin(x) viene completata automaticamente.

O servono più armoniche, o la funzione non si raccorda periodicamente agli estremi dell'intervallo. Una serie di Fourier tratta tutto ciò che sta fuori dall'intervallo come una sua ripetizione, quindi quando f(inizio) e f(fine) sono diversi lì nasce un salto e la serie lo supera sempre nelle vicinanze. Spostare l'intervallo spesso risolve.

A proposito — dalle botti di vino alla FFT, la lunga strada dell'integrazione numerica

Il metodo di Simpson su cui si appoggia questo strumento prende il nome dal matematico inglese Thomas Simpson, che presentò la formula nel 1743. La stessa idea, però, era già in uso più di un secolo prima da parte di Giovanni Keplero, e non per la meccanica celeste ma per stimare il volume delle botti di vino. Nei paesi di lingua tedesca la si chiama ancora talvolta regola della botte di Keplero. Approssimare con parabole l'area racchiusa da una curva si rivela un pezzo di aritmetica pratica piuttosto antico.

Calcolare numericamente i coefficienti di Fourier porta direttamente alla trasformata discreta di Fourier. Eseguita in modo ingenuo con N punti richiede N² moltiplicazioni, e ridurre quel costo a N log N è ciò che Cooley e Tukey ottennero con la trasformata veloce di Fourier nel 1965. Poco dopo l'uscita del loro articolo qualcuno notò che Gauss aveva scritto attorno al 1805 un algoritmo sostanzialmente identico. Non lo pubblicò mai: emerse solo nelle opere postume, dove era rimasto inosservato per un secolo e mezzo.

Stimare l'errore di un'integrazione numerica è, in pratica, il modo di decidere dove fermarsi. L'errore del metodo di Simpson è proporzionale alla quarta potenza del passo, quindi raddoppiare le suddivisioni lo riduce di circa sedici volte. Quella stima presuppone però che l'integrando sia abbastanza regolare e cade nei punti in cui la funzione non è derivabile. Inserite abs(x) in questo strumento variando le suddivisioni: la precisione migliora in modo decisamente meno docile che con una funzione regolare. Osservare come si muovono le cifre è un buon modo per capire se le ipotesi di un teorema sono davvero soddisfatte.

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