Calculadora de coeficientes de series de Fourier
Calculadora gratuita de series de Fourier que obtiene los coeficientes a₀, aₙ y bₙ de cualquier función por integración numérica. Introduzca una expresión, el intervalo del periodo y el armónico más alto, y vea la serie reconstruida sobre la función original.
Qué hace esta calculadora de coeficientes de Fourier
Esta herramienta obtiene por integración numérica los coeficientes de Fourier de cualquier función. Introduzca una expresión para f(x), el intervalo que hace de periodo y el armónico más alto que desee, y obtendrá el término constante a₀ junto con aₙ y bₙ para cada armónico en forma de tabla, además de una gráfica de la serie reconstruida dibujada sobre la función original. Las formas de onda clásicas como la cuadrada o la triangular, cuyos coeficientes tienen forma cerrada, las cubre nuestro visualizador de series de Fourier; esta página está pensada para probar expresiones que su libro de texto no recoge.
La integración emplea la regla de Simpson y divide el periodo en 2000 partes por defecto, así que los coeficientes mostrados son aproximaciones y no valores exactos. Para una función suave suelen coincidir hasta unas seis cifras significativas, pero una función con un pico — como un valor absoluto — o que salta en los extremos del intervalo funciona mejor con más subdivisiones. Puede fijar cualquier valor entre 10 y 20000, así que súbalo hasta que las cifras dejen de moverse.
Cómo usar la calculadora de coeficientes de Fourier
- Introduzca una función Escriba una expresión para f(x). La variable es x y pi representa π. Los botones de debajo rellenan algunos ejemplos habituales.
- Fije el intervalo del periodo Escriba el inicio y el final. También admiten expresiones, así que -pi y 2*pi funcionan. La anchura del intervalo pasa a ser el periodo T.
- Elija el armónico más alto Use el deslizador para indicar hasta qué armónico quiere coeficientes, entre 1 y 50.
- Lea los resultados Obtendrá la tabla de coeficientes y una gráfica con la serie dibujada sobre la función original. Cuanto menor sea el residuo, mejor reproducen su función esos armónicos.
Consejos para aprovecharla mejor
- En una función que salta en los extremos del intervalo — f(x) = x, por ejemplo — la serie se pasa de largo cerca del salto. Añadir armónicos nunca lo elimina, así que lea la forma de la gráfica junto al valor del residuo y no solo el número.
- Los coeficientes que deberían ser exactamente cero salen en torno a 1e-16 con integración numérica. La tabla muestra como 0 todo lo que quede por debajo de 1e-10 en valor absoluto, de modo que si ve valores mayores en una columna que debería estar vacía, pruebe a subir las subdivisiones.
- En una función par (f(−x) = f(x)) desaparecen todos los bₙ, y en una impar desaparecen a₀ y todos los aₙ. Es una forma rápida de confirmar un argumento de simetría en lugar de darlo por bueno.
- Si quiere los coeficientes de una señal cuadrada, triangular, en diente de sierra o de media onda rectificada, nuestro visualizador de series de Fourier usa las expresiones cerradas y da valores exactos.
Para qué sirve la calculadora de coeficientes de Fourier
Comprobar una hoja de problemas
Contraste armónico a armónico los a₀, aₙ y bₙ que ha obtenido a mano con los números de aquí. Un signo perdido o un 1/n escrito donde tocaba 1/n² aparece de inmediato.
Probar funciones que ningún libro recoge
Expresiones como exp(-x^2) o x*sin(x) son tediosas de integrar a mano, pero aquí sus coeficientes están a un clic.
Confirmar qué aporta la simetría
Alterne entre funciones pares, impares y con simetría de media onda y observe qué coeficientes desaparecen. La regla de simetría deja de ser algo memorizado y pasa a ser algo observado.
Ver qué ocurre al cambiar el periodo
La misma expresión tiene otra frecuencia angular cuando cambia la anchura del intervalo. Compare de −1 a 1 con de −pi a pi y verá exactamente cómo responden los coeficientes.
Términos del cálculo de coeficientes de Fourier
- Coeficientes de Fourier
- El nombre conjunto de a₀, aₙ y bₙ. Cada uno es la integral de la función multiplicada por un coseno o un seno a lo largo de un periodo, dividida entre la mitad del periodo.
- Periodo T
- La anchura del intervalo que introduce. Una serie de Fourier trata la función como si se repitiera con esa anchura, de modo que la elección del intervalo condiciona el resultado.
- Frecuencia angular
- La cantidad ω = 2π/T. El armónico n tiene frecuencia angular nω y entra en la serie como cos(nωx) y sin(nωx).
- Regla de Simpson
- Método de integración numérica que divide el intervalo en un número par de partes y ajusta una parábola a cada terna de puntos. Su error va con la cuarta potencia del paso, así que duplicar las subdivisiones lo reduce unas dieciséis veces.
- Amplitud y fase
- El tamaño y el desplazamiento horizontal que resultan de combinar aₙcos y bₙsin en un único coseno A·cos(nωx + φ). Aquí A = √(aₙ² + bₙ²) y φ = atan2(−bₙ, aₙ).
- Residuo
- La diferencia entre la función original y la serie reconstruida. Esta página muestra su raíz cuadrática media en los nodos de integración, como medida de lo bien que los armónicos pedidos reproducen la función.
Preguntas frecuentes sobre el cálculo de coeficientes de Fourier
A propósito — De los barriles de vino a la FFT, el largo camino de la integración numérica
La regla de Simpson en la que se apoya esta herramienta lleva el nombre del matemático inglés Thomas Simpson, que presentó la fórmula en 1743. La misma idea, sin embargo, ya la utilizaba más de un siglo antes Johannes Kepler, y no para mecánica celeste sino para estimar el volumen de los barriles de vino. En los países de habla alemana todavía se la llama a veces la regla del barril de Kepler. Aproximar con parábolas el área encerrada por una curva resulta ser una pieza de aritmética práctica muy antigua.
Calcular numéricamente coeficientes de Fourier conduce directamente a la transformada discreta de Fourier. Hecha de forma ingenua con N puntos exige N² multiplicaciones, y bajar eso a N log N es lo que lograron Cooley y Tukey con la transformada rápida de Fourier en 1965. Poco después de aparecer su artículo, alguien advirtió que Gauss había escrito en esencia el mismo algoritmo hacia 1805. Nunca lo publicó; salió a la luz solo en sus obras completas póstumas, donde llevaba siglo y medio sin que nadie reparara en él.
Estimar el error de una integración numérica es, en la práctica, la manera de decidir dónde parar. El error de la regla de Simpson es proporcional a la cuarta potencia del paso, de modo que duplicar las subdivisiones lo reduce unas dieciséis veces. Esa estimación supone que el integrando es suficientemente suave y se rompe en los puntos donde la función no es derivable. Introduzca abs(x) en esta herramienta y varíe las subdivisiones: la precisión mejora bastante menos dócilmente que con una función suave. Observar cómo se mueven las cifras es una buena forma de intuir si las hipótesis de un teorema se están cumpliendo de verdad.