Calculadora de coeficientes de séries de Fourier

Calculadora gratuita de séries de Fourier que obtém os coeficientes a₀, aₙ e bₙ de qualquer função por integração numérica. Informe uma expressão, o intervalo do período e o harmônico mais alto e veja a série reconstruída sobre a função original.

O que esta calculadora de coeficientes de Fourier faz

Esta ferramenta obtém por integração numérica os coeficientes de Fourier de qualquer função. Informe uma expressão para f(x), o intervalo que faz as vezes de período e o harmônico mais alto desejado, e você recebe o termo constante a₀ junto com aₙ e bₙ de cada harmônico em forma de tabela, além de um gráfico da série reconstruída traçada sobre a função original. As formas de onda clássicas, como a quadrada e a triangular, cujos coeficientes têm forma fechada, ficam por conta do nosso visualizador de séries de Fourier; esta página serve para experimentar expressões que o seu livro-texto não traz.

A integração usa a regra de Simpson e divide o período em 2000 partes por padrão, de modo que os coeficientes exibidos são aproximações e não valores exatos. Para uma função suave eles costumam concordar em cerca de seis algarismos significativos, mas uma função com quina — como um valor absoluto — ou que salta nos extremos do intervalo se sai melhor com mais subdivisões. Você pode escolher de 10 a 20000, então aumente até os dígitos pararem de mudar.

Como usar a calculadora de coeficientes de Fourier

Informe uma função Digite uma expressão para f(x). A variável é x e pi representa π. Os botões abaixo preenchem alguns exemplos comuns.
Defina o intervalo do período Informe o início e o fim. Eles também aceitam expressões, então -pi e 2*pi funcionam. A largura do intervalo passa a ser o período T.
Escolha o harmônico mais alto Use o controle deslizante para dizer até que harmônico deseja coeficientes, de 1 a 50.
Leia os resultados Você recebe a tabela de coeficientes e um gráfico com a série traçada sobre a função original. Quanto menor o resíduo, melhor esses harmônicos reproduzem a sua função.

Dicas para aproveitar melhor

Numa função que salta nos extremos do intervalo — f(x) = x, por exemplo — a série ultrapassa o alvo perto do salto. Acrescentar harmônicos nunca o elimina, então observe o formato do gráfico junto com o valor do resíduo, e não apenas o número.
Coeficientes que deveriam ser exatamente zero saem por volta de 1e-16 na integração numérica. A tabela exibe como 0 tudo abaixo de 1e-10 em valor absoluto; se você vir valores maiores numa coluna que deveria estar vazia, tente aumentar as subdivisões.
Numa função par (f(−x) = f(x)) todos os bₙ desaparecem, e numa função ímpar somem a₀ e todos os aₙ. Isso torna a página um jeito rápido de confirmar um argumento de simetria em vez de aceitá-lo de bom grado.
Se você quer os coeficientes de um sinal quadrado, triangular, dente de serra ou de meia onda retificada, o nosso visualizador de séries de Fourier usa as expressões fechadas e fornece valores exatos.

Onde a calculadora de coeficientes de Fourier ajuda

Conferir uma lista de exercícios

Compare harmônico a harmônico os a₀, aₙ e bₙ que você obteve à mão com os números daqui. Um sinal esquecido ou um 1/n escrito onde cabia 1/n² aparece na hora.

Experimentar funções que nenhum livro traz

Expressões como exp(-x^2) ou x*sin(x) dão trabalho para integrar à mão, mas aqui seus coeficientes ficam a um clique.

Confirmar o que a simetria garante

Alterne entre funções pares, ímpares e com simetria de meia onda e veja quais coeficientes somem. A regra de simetria deixa de ser algo decorado e passa a ser algo observado.

Ver o efeito de mudar o período

A mesma expressão tem outra frequência angular quando o intervalo muda de largura. Compare de −1 a 1 com de −pi a pi e você vê exatamente como os coeficientes respondem.

Termos usados no cálculo de coeficientes de Fourier

Coeficientes de Fourier: O nome coletivo de a₀, aₙ e bₙ. Cada um é a integral da função multiplicada por um cosseno ou um seno ao longo de um período, dividida pela metade do período.
Período T: A largura do intervalo informado. Uma série de Fourier trata a função como se ela se repetisse com essa largura, então a escolha do intervalo molda o resultado.
Frequência angular: A grandeza ω = 2π/T. O harmônico n tem frequência angular nω e entra na série como cos(nωx) e sin(nωx).
Regra de Simpson: Método de integração numérica que divide o intervalo num número par de partes e ajusta uma parábola a cada trio de pontos. O erro varia com a quarta potência do passo, então dobrar as subdivisões o reduz cerca de dezesseis vezes.
Amplitude e fase: O tamanho e o deslocamento horizontal que surgem ao combinar aₙcos e bₙsin num único cosseno A·cos(nωx + φ). Aqui A = √(aₙ² + bₙ²) e φ = atan2(−bₙ, aₙ).
Resíduo: A diferença entre a função original e a série reconstruída. Esta página informa a raiz quadrática média dessa diferença nos nós da integração, como medida de quão bem os harmônicos pedidos reproduzem a função.

Perguntas frequentes sobre o cálculo de coeficientes de Fourier

Integrar simbolicamente uma expressão qualquer exige um sistema de álgebra computacional, difícil de executar com segurança inteiramente dentro de um navegador. Em vez disso, esta ferramenta usa integração numérica pela regra de Simpson. Para uma função suave, as 2000 subdivisões padrão costumam concordar em cerca de seis algarismos significativos. Se você quer coeficientes exatos em forma fechada para as formas de onda clássicas, use o nosso visualizador de séries de Fourier.

É ruído de arredondamento da integração numérica. A tabela mostra como 0 tudo abaixo de 1e-10 em valor absoluto. Se surgirem valores maiores onde você não espera nada, a sua função provavelmente tem uma quina ou um salto: aumente as subdivisões e veja se os números se estabilizam.

As quatro operações, resto, potências e fatoriais; sin, cos, tan, asin, acos e atan; log (base 10), ln (logaritmo natural), sqrt, abs e exp; e as constantes pi e e. Os argumentos trigonométricos são tratados em radianos. A multiplicação implícita como 2x ou 3sin(x) é completada automaticamente.

Ou faltam harmônicos, ou a função não se encaixa periodicamente nos extremos do intervalo. Uma série de Fourier trata tudo fora do intervalo como uma repetição dele, então quando f(início) e f(fim) diferem surge ali um salto, e a série sempre ultrapassa o alvo por perto. Mudar onde o intervalo fica costuma resolver.

Curiosidade — Dos barris de vinho à FFT, o longo caminho da integração numérica

A regra de Simpson em que esta ferramenta se apoia leva o nome do matemático inglês Thomas Simpson, que apresentou a fórmula em 1743. A mesma ideia, porém, já era usada mais de um século antes por Johannes Kepler — e não para mecânica celeste, mas para estimar o volume de barris de vinho. Nos países de língua alemã ela ainda é às vezes chamada de regra do barril de Kepler. Aproximar com parábolas a área delimitada por uma curva acaba sendo uma peça de aritmética prática bastante antiga.

Calcular coeficientes de Fourier numericamente leva direto à transformada discreta de Fourier. Feita de forma ingênua com N pontos, ela exige N² multiplicações, e reduzir isso a N log N foi o que Cooley e Tukey conseguiram com a transformada rápida de Fourier em 1965. Pouco depois de o artigo deles sair, alguém notou que Gauss havia escrito essencialmente o mesmo algoritmo por volta de 1805. Ele nunca o publicou; o texto veio à luz apenas em suas obras completas póstumas, onde passara século e meio sem que ninguém reparasse.

Estimar o erro de uma integração numérica é, na prática, como se decide onde parar. O erro da regra de Simpson é proporcional à quarta potência do passo, então dobrar as subdivisões o reduz cerca de dezesseis vezes. Essa estimativa pressupõe que o integrando seja suficientemente suave e desmorona nos pontos em que a função não é derivável. Informe abs(x) nesta ferramenta e varie as subdivisões: a precisão melhora bem menos obedientemente do que com uma função suave. Acompanhar como os dígitos se movem é um bom jeito de sentir se as hipóteses de um teorema estão mesmo sendo atendidas.

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