Visualizzatore di serie di Fourier

Visualizzatore gratuito di serie di Fourier per onde quadre, triangolari, a dente di sega e a semionda raddrizzata. Regolate il numero di termini da 1 a 50 e osservate la somma parziale convergere, leggete lo spettro delle armoniche e vedete comparire la sovraelongazione di Gibbs.

Che cosa fa una serie di Fourier

Una serie di Fourier riscrive una funzione periodica come somma di seni e coseni. Questo visualizzatore copre quattro forme d'onda classiche — quadra, triangolare, a dente di sega e a semionda raddrizzata — usando i coefficienti in forma chiusa che trovate su qualsiasi libro di testo. Alzando e abbassando il numero di termini potete vedere sul grafico la somma parziale avvicinarsi all'onda originale. Non entra in gioco alcuna integrazione numerica, quindi i coefficienti mostrati sono esatti entro l'arrotondamento della doppia precisione.

La parte più interessante è quanto diversamente convergano le quattro forme d'onda. La quadra e il dente di sega hanno coefficienti che decadono come 1/n, perciò l'ondulazione vicino agli spigoli sopravvive anche aggiungendo molti termini. La triangolare decade invece come 1/n², e una decina di termini basta perché si sovrapponga quasi esattamente all'originale. Nelle forme d'onda con un salto vero e proprio nessun numero di termini elimina la sovraelongazione di circa il 9% che compare appena prima della discontinuità, e quel valore si può seguire direttamente nell'indicatore del massimo della somma parziale.

Come usare il visualizzatore di serie di Fourier

Scegliete una forma d'onda Potete scegliere fra quadra, triangolare, dente di sega e semionda raddrizzata. Subito sotto il selettore compaiono la serie corrispondente e una nota su come converge.
Muovete il cursore dei termini N va da 1 a 50. La linea arancione continua è la somma parziale, quella grigia tratteggiata è l'onda originale.
Leggete gli indicatori di convergenza L'errore quadratico medio e l'errore massimo dicono in numeri quanto rende ogni termine in più. Il massimo della somma parziale misura la sovraelongazione.
Confrontate la tabella e lo spettro Sia il grafico a barre sia la tabella mostrano quali armoniche portano quanta ampiezza. Con l'onda quadra si vede a colpo d'occhio che tutte le armoniche pari sono vuote.

Consigli per sfruttarlo al meglio

Impostate l'onda quadra su N = 5, poi 15, poi 45. Le ondulazioni diventano più numerose ma quasi non si abbassano: è il fenomeno di Gibbs, e la sovraelongazione resta attorno al 9% per quanti termini aggiungiate.
Confrontate la triangolare e la quadra con lo stesso N. La differenza fra il decadimento 1/n² e 1/n salta subito all'occhio: i valori di errore differiscono di solito di un ordine di grandezza o più.
Solo il segnale a semionda raddrizzata ha un termine costante. Se vi siete mai chiesti perché l'uscita di un raddrizzatore conservi una componente continua, la risposta è l'1/π della sua serie.
Se vi servono i coefficienti di una funzione vostra, usate il nostro calcolatore di coefficienti di Fourier, che ricava a₀, aₙ e bₙ per integrazione numerica.

Dove torna utile il visualizzatore di serie di Fourier

Seguire una lezione o un libro di circuiti

Una serie in forma chiusa sulla pagina non dice nulla su quanto rapidamente converga. Vedere l'onda formarsi termine dopo termine collega la forma della formula a quella del risultato.

Lavorare con la distorsione armonica

Che un'onda quadra contenga solo armoniche dispari mentre il dente di sega comprenda anche quelle pari è un presupposto nella progettazione dei filtri e nella compatibilità elettromagnetica. Il grafico a barre rende la differenza evidente.

Studiare il ringing nell'elaborazione dei segnali

Limitare il numero di termini corrisponde esattamente a limitare la banda, e l'ondulazione che si vede vicino agli spigoli è lo stesso ringing prodotto da un filtro passa-basso ripido.

Spiegare il timbro di uno strumento

Due note con la stessa frequenza fondamentale suonano diverse quando il contenuto armonico differisce. Confrontare gli spettri dell'onda quadra e di quella triangolare ne è l'esempio più chiaro.

I termini delle serie di Fourier

Serie di Fourier: Rappresentazione di una funzione periodica come somma di seni e coseni i cui periodi sono il periodo originale diviso per un numero intero. In linea di principio la somma non finisce mai.
Somma parziale: La somma finita che si ottiene troncando una serie infinita all'N-esimo termine. La linea arancione continua di questa pagina è una somma parziale.
Fondamentale: La componente con n = 1, che ha lo stesso periodo della funzione originale. In un suono musicale è la componente che fissa l'altezza.
Armonica: Componente la cui frequenza è un multiplo intero della fondamentale. L'armonica n si trova a n volte la frequenza fondamentale e determina il timbro e quanto risultano netti gli spigoli.
Componente continua: La componente a frequenza zero, pari alla media della funzione su un periodo. Qui compare come termine costante a₀/2.
Fenomeno di Gibbs: La sovraelongazione che una somma parziale di Fourier produce appena prima di una discontinuità di salto. Aggiungere termini restringe la zona interessata ma lascia la sovraelongazione attorno al 9%.
Errore quadratico medio: La radice quadrata della media dei quadrati della differenza fra onda originale e somma parziale su un periodo. È il numero abituale per riassumere la bontà dell'approssimazione.

Domande frequenti sulle serie di Fourier

In una funzione con un salto la somma parziale supera sempre il bersaglio appena prima del salto. È il fenomeno di Gibbs, e l'entità della sovraelongazione resta intorno al 9% indipendentemente dal numero di termini. Ciò che si riduce è la larghezza della zona interessata, ed è per questo che l'errore quadratico medio continua a calare in modo costante.

L'onda quadra ha simmetria di semionda: traslandola di mezzo periodo cambia segno. In qualsiasi forma d'onda con questa simmetria tutti i coefficienti di ordine pari sono esattamente nulli, ed è per questo che le barre pari dello spettro restano vuote. Il dente di sega non possiede questa simmetria, quindi le sue armoniche pari compaiono.

Sì. Per queste quattro forme d'onda lo strumento usa direttamente le espressioni chiuse dei libri di testo, quindi i valori sono esatti entro l'arrotondamento della doppia precisione e non sono approssimazioni numeriche. Trattare una funzione qualsiasi richiede l'integrazione numerica, ed è per questo che quella parte vive in uno strumento separato.

Usate il nostro calcolatore di coefficienti di Fourier, che li ricava per integrazione numerica. Inserite un'espressione, l'intervallo del periodo e l'armonica più alta desiderata e otterrete a₀, aₙ e bₙ in tabella insieme al grafico dell'onda ricostruita.

A proposito — quando si diceva che uno spigolo non potesse nascere da curve lisce

Le serie di Fourier nascono da un'idea che Joseph Fourier portò nel problema della conduzione del calore nel 1807. I suoi contemporanei non si lasciarono convincere: l'affermazione che una funzione con spigoli potesse essere scritta come somma di termini trigonometrici perfettamente lisci parve a Lagrange e ad altri palesemente sbagliata, e Fourier incontrò una forte opposizione. Come si scoprì, non avevano del tutto torto — non ogni funzione ha una serie che converge in ogni punto — e stabilire quali lo facciano divenne una delle domande che mossero l'analisi dell'Ottocento. Le condizioni di convergenza di Dirichlet e la costruzione accurata dell'integrale di Riemann nacquero proprio da lì.

Il fenomeno di Gibbs prende il nome dal fisico Josiah Willard Gibbs, benché il primo a descriverlo sia stato il matematico inglese Henry Wilbraham, nel 1848. Gibbs ne scrisse nel 1898, fu la sua versione a circolare e il nome rimase. La cifra curiosamente precisa di circa l'8,95% per la sovraelongazione discende dal massimo della funzione seno integrale, ed è la stessa in ogni discontinuità di salto di qualunque forma d'onda.

Quella sovraelongazione compare ancora oggi nella pratica ingegneristica. Se togliete le alte frequenze da un audio digitale ottenete il pre-eco, un suono tenue che arriva prima dell'attacco cui appartiene; se fate lo stesso con un'immagine ottenete il ringing, le bande che si stringono attorno a un bordo netto. Le sbavature che si vedono ai confini dei blocchi di un JPEG molto compresso hanno la stessa radice. Progettare un filtro con una funzione finestra scelta con cura significa anche negoziare quanta di quella sovraelongazione si è disposti ad accettare, e muovere il cursore dei termini di questa pagina lascia vedere esattamente a che cosa si sta rinunciando.

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