Fourier-Reihen visualisieren

Kostenloses Werkzeug zur Visualisierung von Fourier-Reihen für Rechteck-, Dreieck-, Sägezahn- und einweggleichgerichtete Schwingungen. Stellen Sie die Anzahl der Glieder von 1 bis 50 ein und beobachten Sie, wie die Teilsumme konvergiert, das Oberwellenspektrum aussieht und das Gibbssche Überschwingen entsteht.

Was eine Fourier-Reihe leistet

Eine Fourier-Reihe schreibt eine periodische Funktion als Summe von Sinus- und Kosinusschwingungen um. Dieses Werkzeug behandelt vier klassische Schwingungsformen – Rechteck, Dreieck, Sägezahn und Einweggleichrichtung – und verwendet dafür die geschlossenen Koeffizientenformeln, die in jedem Lehrbuch stehen. Wenn Sie die Anzahl der Glieder verändern, sehen Sie im Diagramm, wie sich die Teilsumme der ursprünglichen Schwingung annähert. Es kommt keine numerische Integration zum Einsatz, die angezeigten Koeffizienten sind also im Rahmen der Rundung doppelter Genauigkeit exakt.

Besonders lehrreich ist, wie unterschiedlich die vier Formen konvergieren. Bei Rechteck und Sägezahn fallen die Koeffizienten wie 1/n ab, sodass die Welligkeit an den Ecken auch nach vielen Gliedern nicht verschwindet. Beim Dreieck fallen sie wie 1/n² ab, und schon rund zehn Glieder liegen fast genau auf der ursprünglichen Kurve. Bei den Formen mit einem echten Sprung verschwindet das Überschwingen von etwa 9 % unmittelbar vor der Unstetigkeit durch keine Anzahl von Gliedern, und diesen Wert können Sie in der Anzeige für das Maximum der Teilsumme direkt mitverfolgen.

So benutzen Sie die Visualisierung der Fourier-Reihe

Schwingungsform wählen Sie können zwischen Rechteck, Dreieck, Sägezahn und Einweggleichrichtung wählen. Direkt unter der Auswahl erscheinen die zugehörige Reihe und ein Hinweis zum Konvergenzverhalten.
Schieberegler für die Glieder bewegen N reicht von 1 bis 50. Die durchgezogene orange Linie ist die Teilsumme, die gestrichelte graue Linie die ursprüngliche Schwingung.
Konvergenzkennzahlen lesen Das quadratische Mittel des Fehlers und der größte Fehler zeigen in Zahlen, was jedes weitere Glied bringt. Das Maximum der Teilsumme misst das Überschwingen.
Tabelle und Spektrum vergleichen Balkendiagramm und Tabelle zeigen beide, welche Ordnungen welche Amplitude tragen. Beim Rechteck erkennen Sie auf einen Blick, dass alle geraden Ordnungen leer bleiben.

Tipps für die Nutzung

Stellen Sie beim Rechteck N auf 5, dann 15, dann 45. Die Wellen werden zahlreicher, verlieren aber kaum an Höhe – das ist das Gibbssche Phänomen, und das Überschwingen bleibt bei etwa 9 %, ganz gleich wie viele Glieder Sie addieren.
Vergleichen Sie Dreieck und Rechteck bei gleichem N. Der Unterschied zwischen dem Abfall 1/n² und 1/n zeigt sich sofort: die Fehlerwerte unterscheiden sich meist um eine Größenordnung oder mehr.
Nur die einweggleichgerichtete Schwingung besitzt ein konstantes Glied. Wenn Sie sich schon einmal gefragt haben, warum am Ausgang eines Gleichrichters ein Gleichanteil übrig bleibt: das 1/π in dieser Reihe ist die Antwort.
Brauchen Sie Koeffizienten für eine eigene Funktion, nutzen Sie unseren Fourier-Koeffizienten-Rechner, der a₀, aₙ und bₙ per numerischer Integration bestimmt.

Wofür sich die Visualisierung der Fourier-Reihe eignet

Eine Vorlesung oder ein Lehrbuch zur Schaltungstechnik begleiten

Eine geschlossene Reihe auf dem Papier sagt nichts darüber, wie schnell sie konvergiert. Die Schwingung Glied für Glied entstehen zu sehen verbindet die Gestalt der Formel mit der Gestalt des Ergebnisses.

Mit Oberwellenverzerrung arbeiten

Dass eine Rechteckschwingung nur ungerade Oberwellen enthält, eine Sägezahnschwingung aber auch gerade, ist eine Grundannahme im Filterentwurf und in der elektromagnetischen Verträglichkeit. Das Balkendiagramm macht den Unterschied offensichtlich.

Das Nachschwingen in der Signalverarbeitung verstehen

Die Anzahl der Glieder zu begrenzen entspricht genau der Begrenzung der Bandbreite, und die Welligkeit an den Ecken ist dasselbe Nachschwingen, das ein steiler Tiefpass erzeugt.

Die Klangfarbe eines Instruments erklären

Zwei Töne mit derselben Grundfrequenz klingen unterschiedlich, wenn ihr Oberwellengehalt verschieden ist. Der Vergleich der Spektren von Rechteck und Dreieck ist dafür das anschaulichste Beispiel.

Begriffe rund um die Fourier-Reihe

Fourier-Reihe: Die Darstellung einer periodischen Funktion als Summe von Sinus- und Kosinusschwingungen, deren Perioden die ursprüngliche Periode geteilt durch eine ganze Zahl sind. Im Prinzip endet diese Summe nie.
Teilsumme: Die endliche Summe, die entsteht, wenn man eine unendliche Reihe beim N-ten Glied abbricht. Die durchgezogene orange Linie auf dieser Seite ist eine Teilsumme.
Grundwelle: Der Anteil mit n = 1, der dieselbe Periode wie die ursprüngliche Funktion hat. Bei einem musikalischen Klang bestimmt dieser Anteil die Tonhöhe.
Oberwelle: Ein Anteil, dessen Frequenz ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ist. Die n-te Oberwelle liegt bei n-facher Grundfrequenz und prägt Klangfarbe und Schärfe der Ecken.
Gleichanteil: Der Anteil mit der Frequenz null, gleich dem Mittelwert der Funktion über eine Periode. Hier erscheint er als konstantes Glied a₀/2.
Gibbssches Phänomen: Das Überschwingen einer Fourier-Teilsumme unmittelbar vor einer Sprungstelle. Weitere Glieder verengen den betroffenen Bereich, lassen das Überschwingen aber bei etwa 9 %.
Quadratisches Mittel des Fehlers: Die Wurzel aus dem Mittel der quadrierten Differenz zwischen ursprünglicher Schwingung und Teilsumme über eine Periode. Die übliche einzelne Zahl dafür, wie gut die Näherung insgesamt passt.

Häufige Fragen zur Fourier-Reihe

Bei einer Funktion mit Sprung schießt die Teilsumme unmittelbar vor dem Sprung immer über das Ziel hinaus. Das ist das Gibbssche Phänomen, und die Höhe des Überschwingens bleibt unabhängig von der Anzahl der Glieder bei etwa 9 %. Kleiner wird die Breite des betroffenen Bereichs, und deshalb sinkt das quadratische Mittel des Fehlers trotzdem stetig.

Eine Rechteckschwingung ist halbwellensymmetrisch: verschiebt man sie um eine halbe Periode, wechselt sie das Vorzeichen. Bei jeder Schwingungsform mit dieser Symmetrie sind alle Koeffizienten gerader Ordnung genau null, weshalb die geraden Balken im Spektrum leer bleiben. Der Sägezahn besitzt diese Symmetrie nicht, seine geraden Oberwellen treten also auf.

Ja. Für diese vier Schwingungsformen verwendet das Werkzeug unmittelbar die geschlossenen Lehrbuchausdrücke, die Werte sind also im Rahmen der Rundung doppelter Genauigkeit exakt und keine numerischen Näherungen. Eine beliebige Funktion erfordert numerische Integration, und deshalb liegt dieser Teil in einem eigenen Werkzeug.

Nutzen Sie unseren Fourier-Koeffizienten-Rechner, der sie per numerischer Integration ermittelt. Geben Sie einen Ausdruck, das Periodenintervall und die höchste gewünschte Ordnung ein, und Sie erhalten a₀, aₙ und bₙ als Tabelle samt einer Darstellung der rekonstruierten Schwingung.

Übrigens – als es hieß, aus glatten Kurven lasse sich keine Ecke bauen

Die Fourier-Reihe geht auf eine Idee zurück, die Joseph Fourier 1807 in das Problem der Wärmeleitung einbrachte. Seine Zeitgenossen waren wenig überzeugt: die Behauptung, eine Funktion mit Ecken lasse sich als Summe vollkommen glatter trigonometrischer Glieder schreiben, hielten Lagrange und andere für offensichtlich falsch, und Fourier stieß auf erheblichen Widerstand. Wie sich zeigte, lagen sie nicht ganz daneben – nicht jede Funktion besitzt eine Reihe, die in jedem Punkt konvergiert – und die Frage, welche es tun, wurde zu einer der Antriebskräfte der Analysis des 19. Jahrhunderts. Die Dirichletschen Konvergenzbedingungen und die sorgfältige Konstruktion des Riemann-Integrals sind daraus hervorgegangen.

Das Gibbssche Phänomen trägt den Namen des Physikers Josiah Willard Gibbs, beschrieben hat es allerdings zuerst der englische Mathematiker Henry Wilbraham, und zwar 1848. Gibbs schrieb 1898 darüber, seine Darstellung verbreitete sich, und der Name blieb hängen. Die eigentümlich genaue Zahl von rund 8,95 % für das Überschwingen folgt aus dem Maximum der Integralsinusfunktion, und sie ist an jeder Sprungstelle jeder Schwingungsform dieselbe.

Dieses Überschwingen begegnet uns bis heute in der Praxis. Schneidet man die hohen Frequenzen aus digitalem Audio heraus, entsteht ein Vorecho – ein leiser Klang, der vor dem eigentlichen Einsatz eintrifft. Tut man dasselbe mit einem Bild, entsteht Nachschwingen, jene Streifen, die sich an eine scharfe Kante schmiegen. Das Verwischen an den Blockgrenzen eines stark komprimierten JPEG hat dieselbe Wurzel. Einen Filter mit sorgfältig gewählter Fensterfunktion zu entwerfen heißt unter anderem, auszuhandeln, wie viel von diesem Überschwingen man in Kauf nimmt – und wer auf dieser Seite den Schieberegler bewegt, sieht genau, was dabei aufgegeben wird.

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