Visualizador de series de Fourier

Visualizador gratuito de series de Fourier para ondas cuadradas, triangulares, de diente de sierra y de media onda rectificada. Ajuste el número de términos de 1 a 50 y observe cómo converge la suma parcial, lea el espectro de armónicos y vea aparecer el sobreimpulso de Gibbs.

Qué hace una serie de Fourier

Una serie de Fourier reescribe una función periódica como una suma de senos y cosenos. Este visualizador cubre cuatro formas de onda clásicas — cuadrada, triangular, diente de sierra y media onda rectificada — utilizando los coeficientes en forma cerrada que encontrará en cualquier libro de texto. Al subir y bajar el número de términos podrá ver en la gráfica cómo la suma parcial se acerca a la onda original. No interviene ninguna integración numérica, así que los coeficientes mostrados son exactos dentro del redondeo de la doble precisión.

Lo más interesante es lo distinto que convergen las cuatro formas de onda. La cuadrada y la de diente de sierra tienen coeficientes que decaen como 1/n, de modo que el rizado junto a las esquinas sobrevive incluso al añadir muchos términos. La triangular decae como 1/n², y con una decena de términos ya se superpone casi por completo a la original. En las formas de onda con un salto real, ningún número de términos elimina el sobreimpulso de aproximadamente el 9% que aparece justo antes de la discontinuidad, y ese valor puede seguirse directamente en el indicador del máximo de la suma parcial.

Cómo usar el visualizador de series de Fourier

Elija una forma de onda Puede escoger entre la cuadrada, la triangular, la de diente de sierra y la de media onda rectificada. Justo debajo del selector aparecen la serie correspondiente y una nota sobre cómo converge.
Mueva el deslizador de términos N va de 1 a 50. La línea naranja continua es la suma parcial y la línea gris discontinua es la onda original.
Lea los indicadores de convergencia El error cuadrático medio y el error máximo le dicen en números cuánto aporta cada término adicional. El máximo de la suma parcial mide el sobreimpulso.
Compare la tabla y el espectro Tanto el gráfico de barras como la tabla muestran qué armónicos concentran la amplitud. En la onda cuadrada se aprecia de un vistazo que todos los armónicos pares están vacíos.

Consejos para aprovecharla mejor

Ponga la onda cuadrada en N = 5, luego 15 y luego 45. Los rizados se multiplican pero apenas bajan de altura: es el fenómeno de Gibbs, y el sobreimpulso se queda en torno al 9% por muchos términos que añada.
Compare la onda triangular y la cuadrada con el mismo N. La diferencia entre el decaimiento 1/n² y 1/n salta a la vista: los valores de error suelen diferir en un orden de magnitud o más.
Solo la señal de media onda rectificada tiene término constante. Si alguna vez se ha preguntado por qué la salida de un rectificador conserva una componente continua, la respuesta es el 1/π de su serie.
Si necesita los coeficientes de una función propia, utilice nuestra calculadora de coeficientes de Fourier, que obtiene a₀, aₙ y bₙ mediante integración numérica.

Para qué sirve el visualizador de series de Fourier

Seguir una clase o un libro de circuitos

Una serie en forma cerrada sobre el papel no dice nada de la rapidez con que converge. Ver la onda formarse término a término conecta la forma de la fórmula con la del resultado.

Trabajar con distorsión armónica

Que una onda cuadrada contenga solo armónicos impares mientras la de diente de sierra incluya también los pares es un punto de partida en el diseño de filtros y en compatibilidad electromagnética. El gráfico de barras hace evidente la diferencia.

Estudiar el ringing en procesamiento de señales

Limitar el número de términos es justamente lo que hace limitar el ancho de banda, y el rizado que aparece junto a las esquinas es el mismo ringing que produce un filtro paso bajo abrupto.

Explicar el timbre de un instrumento

Dos notas con la misma frecuencia fundamental suenan distintas cuando su contenido armónico difiere. Comparar los espectros de la onda cuadrada y la triangular es el ejemplo más claro.

Términos de las series de Fourier

Serie de Fourier: Representación de una función periódica como suma de senos y cosenos cuyos periodos son el periodo original dividido por un número entero. En principio la suma no termina nunca.
Suma parcial: La suma finita que se obtiene al cortar una serie infinita en el término N. La línea naranja continua de esta página es una suma parcial.
Fundamental: La componente con n = 1, que tiene el mismo periodo que la función original. En un sonido musical es la componente que fija la altura.
Armónico: Componente cuya frecuencia es un múltiplo entero de la fundamental. El armónico n está en n veces la frecuencia fundamental y determina el timbre y lo afiladas que resultan las esquinas.
Componente continua: La componente de frecuencia cero, igual al promedio de la función en un periodo. Aquí aparece como el término constante a₀/2.
Fenómeno de Gibbs: El sobreimpulso que hace una suma parcial de Fourier justo antes de una discontinuidad de salto. Añadir términos estrecha la zona afectada, pero el sobreimpulso se mantiene en torno al 9%.
Error cuadrático medio: La raíz cuadrada de la media de los cuadrados de la diferencia entre la onda original y la suma parcial a lo largo de un periodo. Es la cifra habitual para resumir la calidad del ajuste.

Preguntas frecuentes sobre las series de Fourier

En una función con un salto, la suma parcial siempre se pasa de largo justo antes del salto. Es el fenómeno de Gibbs, y el tamaño del sobreimpulso se mantiene en torno al 9% con independencia del número de términos. Lo que sí se reduce es la anchura de la zona afectada, y por eso el error cuadrático medio sigue bajando de forma constante.

La onda cuadrada tiene simetría de media onda: si la desplaza medio periodo, cambia de signo. En cualquier forma de onda con esa simetría todos los coeficientes de orden par son exactamente cero, y por eso las barras pares del espectro están vacías. La onda de diente de sierra carece de esa simetría, así que sus armónicos pares sí aparecen.

Sí. Para estas cuatro formas de onda la herramienta usa directamente las expresiones cerradas de los libros de texto, de modo que los valores son exactos dentro del redondeo de la doble precisión y no aproximaciones numéricas. Tratar una función arbitraria exige integración numérica, y por eso esa parte vive en una herramienta aparte.

Utilice nuestra calculadora de coeficientes de Fourier, que los obtiene por integración numérica. Introduzca una expresión, el intervalo del periodo y el armónico más alto que desee, y obtendrá a₀, aₙ y bₙ en una tabla junto con la gráfica de la onda reconstruida.

A propósito — Cuando se decía que una esquina no podía construirse con curvas suaves

Las series de Fourier nacieron de una idea que Joseph Fourier llevó al problema de la conducción del calor en 1807. Sus contemporáneos no quedaron convencidos: la afirmación de que una función con esquinas podía escribirse como suma de términos trigonométricos perfectamente suaves les pareció a Lagrange y a otros claramente errónea, y Fourier encontró una oposición seria. Resultó que no andaban del todo equivocados — no toda función tiene una serie que converja en todos los puntos — y precisar cuáles lo hacen se convirtió en una de las preguntas que movieron el análisis del siglo XIX. Las condiciones de convergencia de Dirichlet y la construcción cuidadosa de la integral de Riemann surgieron de ahí.

El fenómeno de Gibbs lleva el nombre del físico Josiah Willard Gibbs, aunque quien lo describió primero fue el matemático inglés Henry Wilbraham, en 1848. Gibbs escribió sobre ello en 1898, su versión fue la que circuló y el nombre quedó. La cifra tan concreta de alrededor del 8,95% para el sobreimpulso proviene del máximo de la función integral seno, y es el mismo número en cualquier discontinuidad de salto de cualquier forma de onda.

Ese sobreimpulso sigue apareciendo en la ingeniería diaria. Si recorta las frecuencias altas de un audio digital obtendrá pre-eco, un sonido tenue que llega antes del ataque al que pertenece; si hace lo mismo con una imagen obtendrá ringing, las bandas que se pegan a un borde nítido. El difuminado que se ve en las fronteras de bloque de un JPEG muy comprimido tiene la misma raíz. Diseñar un filtro con una función de ventana bien elegida es, entre otras cosas, negociar cuánto de ese sobreimpulso está dispuesto a aceptar, y mover el deslizador de términos de esta página le permite ver exactamente qué se está sacrificando.

Ver todas las curiosidades